2017-03-03
Персональний сайт В'ячеслава Горчіліна
Всі статті
Поєднання двох частот в паралельно-послідовному коливальному контурі
У деяких пристроях потрібна поєднання двох резонансних частот в системі двох контурів. Для таких систем не потрібно суміщення з частотами стоячих хвиль, хоча вони і будуть перебувати досить близько. Перевага таких пристроїв — відносна простота в їх реалізації і налаштування.
На рисунку 3.1 зображені два контури — l 1 c 1 і L2C, які в найбільш загальному вигляді називаються «пов'язані». У них C1 і C — власні ємності відповідних їм котушок — L1 і L2. Але для наших цілей ми можемо зробити припущення, що котушка L2 має зосереджені параметри і нульову власну ємність, тому на рисунку 3.1 ємність C зображена пунктирною лінією. Вона далі не буде враховуватися в розрахунках.
Таким чином, ми отримуємо два контури: паралельний l 1 c 1 і послідовний L2C2. Вважаємо, що перший — l 1 c 1 має розподілені параметри, а другий L2C2 — зосереджені. За допомогою схеми в котушці L1 нам необхідно створити два режими роботи.
1. Півхвильовий. При цьому, частота задається генератором E1 повинна бути в два рази вище власної частоти контуру l 1 c 1. Ланцюжок L2C2, при цьому, повинна надавати мінімальний опір і по суті - замикати собою L1, тобто в ідеалі — дорівнювати нулю на цій частоті.
2. Четвертьволновой. Цей режим встановлюється генератором E2, при цьому в паралельно-послідовному контурі L1C1L2C2 повинен настати резонанс, причому максимум напруги повинен припадати на котушку L1.
Наша задача — знайти оптимальні співвідношення параметрів цих контурів для досягнення в них двох заданих резонансів. Втрати поки не враховуємо.
Совмещение двух частот в параллельно-последовательном контуре
З теорії електричних ланцюгів [1] можна отримати наступне співвідношення. Воно розраховує резонанс в контурі L1C1L2C2 при частоті другого генератора E2 — \(\omega_2\): \[\left[\left(\frac{\omega_2}{w_1}\right)^2 - 1\right] \left[\left(\frac{\omega_2}{w_2}\right)^2 - 1\right] = \left(\frac{\omega_2}{w_2}\right)^2 \frac{L_1}{L_2} \qquad (3.1)\] \[w_1 = 1/(L_1 C_1)^{0.5}, \quad w_2 = 1/(L_2 C_2)^{0.5} \] де(w_1\) \(w_2\) — власні частоти контурів l 1 c 1 і L2C2 відповідно. З умов задачі нам відомо, що частота першого генератора \(\omega_1\) повинна бути в два рази більше власної частоти паралельного контуру l 1 c 1, а послідовний контур L2C2 для цієї частоти повинен надавати мінімальний опір. Отже: \[\frac{\omega_1}{w_1} = 2, \quad \frac{\omega_1}{w_2} = 1 \qquad (3.2)\] Тоді, ввівши такі позначення: \[k = \frac{L_1}{L_2}, \quad f(k) = \frac{\omega_1}{\omega_2},\] і провівши деякі перетворення, отримаємо таку залежність: \[f(k) = \frac{\omega_1}{\omega_2} = {2\sqrt{2} \over \sqrt{{5+k} - \sqrt{\left({5+k}\right)^2 - 16}}} \qquad (3.3)\] На графіках вона видна більш наочно. Лівий — захоплює весь діапазон \k\), а правий — тільки невелику робочу область:
График зависимости соотношения частот от соотношения индуктивностей
Методика розрахунку
Передбачається, що котушка L1 вже намотана і значення \(L_1, C_1\) нам відомі. Це можна зробити в калькуляторі. Не забуваємо, що в ємність C1 входить власна ємність котушки і ємність заземлення. З формули (3.2) можна знайти значення першої частоти: \(\omega_1 = 2/(L_1 C_1)^2\). Але оскільки це кругова частота, то в звичайну вона перераховується діленням на \(2\pi\), тобто \(f_1 = \omega_1 / (2\pi)\). Далі, вибираємо значення \k\), наприклад, дорівнює трьом, потім на графіку знаходимо його \(f(k) = 2.73\) — це відношення частот генераторів. Отже, частота другого генератора буде така: \(\omega_2 = \omega_1 / 2.73\). З допомогою обраного \k\) знаходиться і індуктивність другої котушки: \(L_2 = L_1 / k = L_1 / 3\). Останнім невідоме — ємність другого контуру — знаходимо з умов (3.2): \(C_2 = 1/(\omega_1^2 L_2)\).
Приклад
У калькуляторі вибираємо нашу котушку L1, наприклад таку. За вищенаведеною методикою знаходимо всі параметри.
Котушка L1:
  • діаметр каркаса котушки, мм — 80
  • діаметр дроту (з ізоляцією), мм — 0.65
  • крок намотування, мм — 0.69
  • число витків — 481
  • індуктивність котушки, мГн — 4
Інші параметри:
  • частота першого генератора, МГц — 1.76
  • коефіцієнт \k\) — 3
  • частота другого генератора, МГц — 0.64
  • індуктивність котушки L2, мГн — 1.33
  • ємність конденсатора C2, пФ — 6.2
Схемні рішення
Приклади схемних рішень представлені на малюнках 3.2 і 3.3. Вони відрізняються способом включення котушки L2, але методика їх розрахунку одна і та ж. Перевага схеми 3.3 полягає в більш високій напрузі на верхньому по схемі кінці котушки L1. Недолік — високі вимоги до розв'язки з індуктором Li1 і меншому діапазоні у виборі коефіцієнта \k\). У цьому випадку він повинен бути — чим більше, тим краще, але не менше 2-х. Цим забезпечується менша індуктивність L2 і, як наслідок, — краща зв'язок котушки L1 із заземленням.
Індуктивність котушки L2 носить зосереджений характер і тому повинна мати якомога менші габарити. Це можна зробити, якщо використовувати в ній феромагнітний сердечник. Таким чином, котушка L2 перетворюється в звичайний трансформатор на феритовому сердечнику.
Більш складним схемним рішенням може бути таке, при якому два генератора (VS1, VS2) об'єднані в один, а на його виході виробляється складний сигнал: сума або твір синусоїд двох частот. Перевага такого рішення — єдиний індуктор Li1.
Більш загальний випадок
У котушці L1 ми можемо розмістити не тільки половину хвилі, що задаються генератором VS1, але і будь-яке число таких півхвиль. З цих досліджень ми знаємо, що резонансна частота котушки, в залежності від номера гармоніки \i\) знаходиться так: \[\omega_i = \left({i + 2 \over 2} \right)w_1, \quad i \in 2, 4, 6, ... \] Якщо перевести номер гармоніки в залежність від кратності довжини хвилі \(\lambda\), то початкові умови формули (3.2) у більш загальному випадку стануть такими: \[\frac{\omega_1}{w_1} = 2\lambda + 1, \quad \lambda \in \frac12, \frac22, \frac32..., \quad \frac{\omega_1}{w_2} = 1 \qquad (3.4)\] а формула (3.3) перетвориться так: \[f(k) = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \sqrt{2}{2\lambda + 1 \over \sqrt{{1+(2\lambda + 1)^2+k} - \sqrt{\left[{1+(2\lambda + 1)^2+k}\right]^2 - 16}}} \qquad (3.5)\] На наступному графіку показана залежність \(f(k)\) від коефіцієнта \k\) при різних \(\lambda\):
График зависимости отношения частот от коэффициента k и от кратности волны
За підсумками цієї роботи, для розрахунку параметрів таких схем, був розроблений спеціалізований онлайн калькулятор.
Використовувані матеріали

Горчилин В'ячеслав, 2017 р.
* Використання матеріалів сайту можливе з умовою встановлення відповідних посилань і дотримання авторських прав

2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin