2018-10-02
Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
Все заметки
Используем неравномерное распределение магнитного поля в медленных волнах
В предыдущем разделе мы показали необычное неклассическое распределение магнитного поля (МП) в катушке, длина которой в 100 и более раз меньше требуемой для появления в ней стоячей волны на 1/4 периода. При этом, электрическое поле малое по величине и полностью подчиняется классическому объяснению, как линии с сосредоточенными параметрами. Это позволяет строить генераторы с компенсацией обратной ЭДС и этим повышать КПД устройств. Ещё один необычный способ мы покажем в этой заметке, но начнём — с простого обобщённого примера. У него много условностей и предположений, но его задача в другом — показать сам принцип извлечения энергии с рапределённых полей.
Представим, что ток \(I\) в исследуемом проводнике движется очень медленно и проходит одну условную секцию 1-3 за 1 секунду (рис. 1, верхний). Также, через каждую секцию проходит заряд в два кулона: \(Q=2\). Поскольку этот заряд проходит секцию за 1 секунду, то ток будет численно равен заряду, т.е. 2 ампера.
Перераспределение зарядов вдоль проводника
Рис.1. Перераспределение зарядов вдоль проводника
Сопротивление проводника \(R\) в каждой секции — 1Ом. Таким образом, энергия, выделяемая в виде тепла в каждой из них будет равна 4Дж, а сумма тепла во всех секциях — 12Дж. Формула, которая подсчитывает эту энергию классическая: \[ W = I^2 R\,t, \quad t = 1 \] Предположим, что мы каким-то образом переместили часть зарядов из секций 1 и 3 в секцию 2 (рис. 1, нижний), при этом они всё так же проходят одну секцию за 1 секунду. Напомним, что в этом примере мы всё делаем условно и не задаёмся целью исследовать физику движений и потоков. Эти предположения мы сделаем позже. А сейчас нас интересует только математика процесса, исходя их которой в секции 1 и 3 теперь получаем по 1Дж, в секции 3 — 16Дж, а в сумме — 18Дж энергии. Итак, мы получили прибавку в 50%.
Более общая математика
Обобщим полученный результат в виде интегралов — они помогут рассматривать и сравнивать любые известные функции распределения МП вдоль катушки, а значит и тока. Для этого всю её длину \(\ell\) разобъём на много мелких отрезков, активное сопротивление в каждом из которых равно: \[ dR = \frac{R}{\ell} d\ell \qquad (1.1) \] где \(R\) — общее активное сопротивление провода катушки. Саму же длину, для упрощения, примем равной единице: \(\ell=1\). Тогда, подставляя это выражение в классическую формулу для мощности получаем: \[ P = \int_0^1 I^2(\ell)\,dR = R \int_0^1 I^2(\ell)\,d\ell \qquad (1.2) \] Здесь: \(I(\ell)\) — функция распределение тока вдоль катушки. Для того, чтобы сравнивать разные функции распределения между собой нам необходимо их нормировать. Для этого воспольхуемся теоремой Парсеваля и сразу выведем нормировщик: \[ \Psi = R \left[ \int_0^1 |I(\ell)|\,d\ell \right]^2 \qquad (1.3) \] Причём ток берётся обязательно по модулю, т.к. он может принимать и отрицательные значения. Таким образом, нормированная мощность, а она же является и коэффициентом роста КПД второго рода, будет находится так: \[ K_{\eta2} = {P \over \Psi} = {\int_0^1 I^2(\ell)\,d\ell \over \left[ \int_0^1 |I(\ell)|\,d\ell \right]^2} \qquad (1.4) \]
Ниже в таблице показаны значения \(K_{\eta2}\) в зависимости от функции распределения \(I(\ell)\). Хорошо прослеживается закономерность: чем быстрее изменяется функция \(I(\ell)\), т.е. чем концентрированне ток и МП на каком-либо участке катушки, тем больше энергетический выигрыш и выше значение \(K_{\eta2}\).
\(I(\ell)\) 1 \(\sin(\ell)\) \(\sin(\ell)^2\) \(\ell\) \(\ell^2\) \(\ell^3\)
\(K_{\eta2}\) 1 1.2345 1.668 1.3333 1.8 2.286

Это интересно! Коэффициент прироста КПД при синусном распределении равен числу 1.23456789... (см. таблицу)

А что на практике?
Температурные замеры катушек с медленными волнами дали результат, который неплохо согласуется с математическими выводами. Так, относительное превышение температуры в центре катушки с медленными волнами, синусоидальным распределением МП и его максимумом в центре,
Перераспределение температуры вдоль катушки с неравномерным и равномерным распределением магнитного поля
Рис.2. Перераспределение температуры вдоль катушки с неравномерным распределением МП и его максимумом в центре (красная линия), и с равномерным его распределением (голубая линия)
в сравнении с той же катушкой, но с равномерно распределённым МП, находится в пределах 13-17% (рис. 2). Формула для этого рисунка выглядит так: \[ {T_1 - T_0 \over T_2 - T_0} = 1.13 \ldots 1.17 \] где: \(T_1, T_2\) — максимальные температуры в катушке с максимумом МП в её центре и той же катушки, но с равномерным распределением МП соответственно; \(T_0\) — начальная (комнатная) температура. На этом рисунке длина катушки обозначена символом \(\ell\).
В теории максимум мощности в центре на 23.5% больше, чем по краям. Но учитывая, что рост температуры всегда медленнее роста мощности, практический результат можно считать удовлетворительным. Применяя катушку, как нагревательный элемент, даже при таком довольно плавном распределении МП, реальная экономия электроэнергии может составить порядка 20%.
Далее мы расскажем о реальной конструкции нагревателя, который может экономить до 30% электроэнергии. Помимо описанного здесь эффекта в нём задействуется ещё один — магнитострикционный, который усиливает первый.
 
1 2 3 4

© Горчилин Вячеслав, 2018 г.
* Перепечатка статьи возможна с условием установки ссылки на этот сайт и соблюдением авторских прав

2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin