Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
2018-10-24
Всі статті
Резонанс другого роду
Це зовсім інший вид резонансу. Він не схожий на класичний навіть зовні, якщо дивитися на нього через екран осцилографа. Його резонансна частота залежить не тільки від індуктивності і ємності, але і від активного опору ланцюга і шпаруватості імпульсів. Математична залежність цих параметрів між собою сильно відрізняється від класичної формули Томсона [1]. За допомогою цього резонансу можна отримати повільні магнітні хвилі у звичайній котушці індуктивності. У цій замітці ми запропонуємо його математичну модель і формули для розрахунку, а називати його будемо далі резонансом другого роду.
При дослідженні феромагнетиків, деякі умови для такого резонансу були знайдені Дмитром С. (skype: dimi.dimi777), Д. Сміт відобразив їх у своїх номограммах, а ми постараємося вивести аналітичну модель і формули для його розрахунку.
Эквивалентная схема для расчёта резонанса второго рода
Рис.1. Еквівалентна схема для розрахунку резонансу другого роду
Для цього нам знадобиться эквивалентая схема процесу, дані зняті з реальних котушок і деякі припущення. На схемі (рис. 1) подано: ключ SW1, який замикається з резонансною частотою \(f_{r2}\), причому тут і далі під \(f_{r2}\) будемо розуміти резонанс другого роду (РВР); активний опір ключа — \(R_{SW1}\); коливальний контур складається з ємності \(C\), індуктивності \L\) і її активного опору \(R_{L}\); джерела живлення E1 і активного опору з'єднувальних проводів \(R_{W}.\) Вважаємо, що саме джерело живлення має дуже маленький внутрішній опір. Якщо це не так, то його можна буде додати в \(R_{W}.\)
Для подальших припущень нам буде необхідно загальне активне опір ланцюга, що знаходиться підсумовуванням всіх його складових: \[ R = R_{SW1} + R_{L} + R_{W} \qquad (1.1) \] Також передбачається, що активні опору ключа, проводів і джерела живлення у багато разів менше \(R_{L}\).
Для знаходження резонансної частоти РВР були розглянуті три ймовірні математичні моделі: \[ f_{r2} = {k_1 \over 2\pi\sqrt{L C} + k_2 L/R + k_3 R C } \qquad (1.2) \] \[ f_{r2} = {k_1 \over \sqrt{(2\pi\sqrt{L C})^2 + k_2 (L/R)^2 + k_3 (R C)^2 }} \qquad (1.3) \] \[ f_{r2} = k_1 \sqrt{f_r \frac{R}{L}}, \quad f_r = {1 \over 2\pi\sqrt{L C}} \qquad (1.4) \] де: \(k_1, k_2, k_3\) — постійні коефіцієнти, а \(f_r\) — класична резонансна частота за формулою Томсона. Ці варіанти тестувалися на котушках з різними параметрами, з різними матеріалами провідника і сердечника. Формули (1.2) і (1.3) виявилися дуже неточними для великих відносних значень ємності й індуктивності, а (1.4) працювала з точністю 20% по всьому діапазону. Її і взяли за основу з коефіцієнтом \(k_1 = 1/2\). Цікаво, що ця формула працює як для звичайних котушок, так і для бифилярных намоток, майже не володіють індуктивністю, як для котушок без сердечника, так і для феромагнітних і діамагнітних сердечників. Отже, відобразимо цю формулу в остаточному вигляді: \[ f_{r2} = \frac12 \sqrt{f_r \frac{R}{L}}, \quad f_r = {1 \over 2\pi\sqrt{L C}} \qquad (1.5) \]

Висновок через добротність
Дуже цікава формула виходить, якщо виводити резонанс другого роду через добротність. Вона покаже природу цього резонансу. Для отримання такої формули потрібно згадати, що таке добротність коливальної системи на її робочій частоті [2]: \[ Q = \frac{\omega L}{R} \qquad (1.6) \] де: \(Q\) — добротність, \(\omega\) — кругова частота, яка знаходиться так: \(\omega = 2 \pi f_r\). Підставивши вираз (1.6) в (1.5), і зробивши скорочення, отримаємо формулу: \[ f_{r2} = f_r \sqrt{\pi \over 2 Q} \qquad (1.7) \] Звідси одразу видно умова рівності класичної резонансної частоти і резонансної частоти другого роду: \[ Q = \frac{\pi}{2} \qquad (1.8) \]
Шпаруватість
Досі ми досліджували резонанс при шпаруватості керуючих ключем імпульсів дорівнює 2 і формула (1.5) виведена саме для цього випадку. На відміну від класичного резонансу в РВР виявилася сильна залежність і від цього параметра. За попередніми даними, залежність виходить така: \[ f_{r2} = \frac{S}{4} \sqrt{\frac{S}{2} f_r \frac{R}{L}}, \quad f_r = {1 \over 2\pi\sqrt{L C}} \qquad (1.9) \] де: \(S) — шпаруватість.

Часто плутають шпаруватість і коефіцієнт заповнення [3], тому ми ще раз нагадаємо різницю між ними. Під шпаруватістю ми маємо на увазі відношення періоду імпульсу до тривалості імпульсу. Коефіцієнт заповнення (duty cycle) — величина, обернена до шпаруватості: \(D = 1/S)

Умова існування резонансу другого роду
Осцилограми для різних видів намотування наведені на рисунках 7 і 8 тут. З них стає зрозуміло, що довжина імпульсу повинна бути більше першої (Томсоновкой) його частини мінімум в два рази. Математично це можна відобразити так: \[ T_I \ge 2 T_T, \quad T_I = 1/f_{r2}, \quad T_T = 2\pi\sqrt{L C} \qquad (1.10) \] Тоді підставляючи в цей вираз відомі значення з (1.5), і провівши з ними необхідні скорочення, ми отримаємо наступне співвідношення: \[ \sqrt{\frac{L}{C}} \ge \frac{\pi}{2} R \qquad (1.11) \] Але ми знаємо з курсу електродинаміки, що ліва частина нерівності — це хвильовий опір контуру, отже умова отримання РВР зводяться до досить простою формулою: \[ Z \ge \frac{\pi}{2} R, \quad Z = \sqrt{\frac{L}{C}} \qquad (1.12) \] де: \Z\) — хвильовий опір LC-контуру.
Вище ми розглянули умова при шпаруватості 2. Більш загальна формула, з будь шпаруватістю, виводиться підстановкою в нерівність (1.10) формули (1.9): \[ Z \ge S^3 \frac{\pi}{16} R \qquad (1.13) \]
Це необхідна, але недостатня умова існування резонансу другого роду. Автор сподівається, що всі умови знайдуться згодом :)
Висновки
Резонанс другого роду відрізняється від класичного за такими ознаками.
  • Він утворює в котушці нерівномірний розподіл магнітного поля на відносно низьких частотах, на яких, в класичному поданні, індуктивність вважається точкової і поле повинно розподілятися рівномірно;
  • Математична модель такого резонансу сильно відрізняється від формули Томсона, згідно з якою резонансна частота обернено пропорційна квадратному кореню з ємності і індуктивності. У РВР ця частота обернено пропорційна кореню четвертого ступеня з ємності і корені 3/4 міри індуктивності;
  • При класичному резонансі спостерігається зсув фаз між струмом і напругою на 90 градусів. У РВР зсуву між струмом і напругою немає;
  • Є принципові відмінності при передачі потужності між двома котушками при класичному резонансі і РВР. Повний звіт знаходиться тут;
  • У РВР резонансна частота залежить не тільки від індуктивності і ємності, але і від активного опору ланцюга і шпаруватості імпульсів;
  • РВР вимагає певних умов для свого існування відображених в формулі (1.13).
 
Використовувані матеріали
  1. Формула Томсона
  2. Добротність
  3. Шпаруватість