Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
2020-06-26
Всі статті/Вільна енергія. Теорія
Динамічний скін-ефект і поперечна довжина хвилі
Шановні читачі! У цій роботі ми відкриваємо ще один ефект для загального вивчення і застосування. Поки він отриманий тільки теоретично, але, як відомо, теорія в багатьох випадках випереджає практику і ми сподіваємося на подальшу успішну практичну реалізацію і впровадження цього незвичайного явища у сферу альтернативної енергетики.
Феномен скін-ефекту [1] вивчено явно недостатньо і тут у електродинаміки, як виявилося, існує багато прогалин. Класичне пояснення цього ефекту не витримує критики хоча б тому, що не зовсім коректно пояснює його механізм, який добре освітлюється, наприклад, в роботі [2]. Але є ще один нюанс, про який чомусь взагалі ніде не говориться. Він полягає в тому, що в провіднику напруженість електричного поля та густина струму в площині, перпендикулярній його течією, розподілена рівномірно при постійному струмі і зміщується до краю — при його зміні. Це добре видно з класичного пояснення, яке випливає з максвелловськой рівняння: \[ {\Bbb{rot}\, \mathbf{E} = - \frac {\partial \mathbf{B} }{\partial t}} \qquad (1.1)\] Його зміст досить простий: при зміні магнітної індукції (права частина рівняння), навколо її ліній з'являються замкнуті лінії електричного поля (ліва частина рівняння), причому магнітні та електричні силові лінії завжди взаємно перпендикулярні. Згідно з класичним поясненням, частина створених таким чином, електричних силових ліній спрямована по руху струму, а частина — проти, що перерозподіляє картину руху зарядів і змушує їх рухатися по поверхні провідника. Але! Якщо через наш провідник тече змінний синусоїдальний струм, то в моменти переходу синуса через свій максимум і мінімум (червоні кружки на рис. 1) похідна по часу буде дорівнює нулю, а отже — і права частина рівняння (1.1), що означає відсутність скін-ефекту в ці моменти. І навпаки, коли синус проходить через нуль (чорні кружки на рис. 1), то його похідна максимальна, а значить в цей момент будуть максимальні і електричні сили, які утворюють скін-ефект. Саме цей нюанс і обходить стороною теоретична електродинаміка. Давайте розбиратися...
Якщо через наш провідник тече постійний струм, то щільність струму повинна бути розподілена по перерізу провідника рівномірно. Такий розподіл представлено на малюнку (2), де зображено поздовжній переріз провідника, а фіолетовими лініями умовно зображені вектори густини струму або напруги електричного поля в ньому.

Тут і далі на малюнках ми будемо зображати тільки частина поздовжнього перерізу провідника, де координата \(y\) буде спрямована знизу-вгору. Низ малюнка буде представляти поверхню провідника, а верх малюнка — його середину. На поверхні провідника щільність струму завжди максимальна і на графіках умовно прийнята за одиницю. Довжина вектора буде позначати величину щільності струму, а його напрямок і колір полярність.

Якщо по провіднику тече змінний, наприклад, синусоїдальний струм, то вектори густини струму повинні нерівномірно розподілятися по поверхні міру збільшення похідної \(\partial \mathbf{B} / \partial t\), тобто бути найбільш нерівномірно розподілені в моменти переходу синуса через нуль, а в моменти максимуму і мінімуму синусоїди — бути такими ж, як і при постійному струмі. Таке очікуване нами динамічний розподіл представлено на малюнку (3).
Рис.1. Синусоїда та її похідна в різні моменти часу
Рис.2. Рівномірний розподіл щільності струму в провіднику при постійному струмі
Рис.3. Предпологаемая картина динамічного скін-ефекту при змінному струмі
На останньому малюнку ми отримали очікувану картину динамічного скін-ефекту. Давайте уточнимо це припущення. Для цього ми простежимо, як надходить класична електродинаміка, щоб обійти вищевказаний нюанс. Робиться це так. Спочатку рівняння (1.1) спрощується до випадку з реальним провідником: \[ \frac{\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}} = \mu \gamma \frac{\partial E_{x}}{\partial t} \qquad (1.2)\] що є абсолютно вірним рішенням, а потім, замість змінної \(E_{x}\), яка являє собою розподіл напруженості електричного поля вздовж провідника (вздовж осі \(x\)), підставляється наступне вираз [1]: \[ E_{x}(y,t) = E_{0}(y)\ e^{i\omega t} \qquad (1.3)\] де(E_{0}(y)\) — амплітудне значення напруженості електричного поля, а \(\omega\) — кутова частота. Під координатою \(y\) тут розуміється те саме розподіл щільності струму вздовж осі, перпендикулярної осі провідника (на малюнках спрямована вертикально). Така форма запису справедлива для електромагнітної хвилі, але якщо зміни напруженості поля (а значить і струму, і магнітної індукції) в нашому провіднику відносно повільні, і змінюються за синусоїдальним законом, то насправді вона повинна бути такою: \[ E_{x}(y,t) = E_{0}(y)\, \sin(\omega t) \qquad (1.4)\] І, якщо ми підставимо в подальші обчислення цю правильну на думку автора, форму, то й остаточна формула, і сам фізичний зміст скін-ефекту принципово зміняться. Вираз (1.2) тоді стане таким: \[ \frac{\partial ^{2}E_{0}}{\partial y^{2}} = \mu \gamma \omega \cot(\omega t) E_{0} \qquad (1.5)\] де: \(\cot(\omega t) = \cos(\omega t) / \sin(\omega t)\). Вже в цій формулі можна побачити залежність розподілу напруженості поля від її фази, що відрізняє це рішення від класичного. Для одержання остаточного результату нам потрібно згадати, що щільність струму і напруженість електричного поля зв'язані питомою провідністю: \(j= \sigma E_0\). Вирішивши останнім диференціальне рівняння, надавши йому фізичний сенс, ми отримаємо наступне розподіл щільності струму від координати \(y\) і від часу: \[j(y,t) = j_0 \sin(\omega t) \begin{cases} \exp ({- \sqrt{\cot(\omega t)}\, y/\Lambda}), & \mbox{if } \cot(\omega t) \ge 0 \\ \cos( \sqrt{- \cot(\omega t)}\, y/\Lambda ), & \mbox{if } \cot(\omega t) \lt 0 \end{cases} \qquad (1.6)\] або, що те ж саме: \[ j(y,t) = j_0 \sin(\omega t)\ Re \exp \left( {- \sqrt{\cot(\omega t)}\, y/\Lambda} \right) \qquad (1.7)\] Як ми бачимо, це рішення принципово відрізняється від класичного [1] тим, що товщина скін-шару змінюється в часі, а значить ми можемо тепер говорити про динамічному скін-ефект. В цій формулі: \(j_0\) — щільність струму на поверхні провідника (його максимальне значення), \(Re\) — дійсна частина наступного виразу. А ось на наступному параметрі потрібно зупинитися детальніше.
Поперечна довжина хвилі
Тут ми вводимо новий термін, значення і застосування якого ще належить вивчити. \[\Lambda = {1 \over \sqrt{\mu \gamma \omega}} \qquad (1.8)\] В цій формулі \(\Lambda\) — поперечна довжина хвилі, в знаменнику якої, під квадратним коренем, знаходиться добуток магнітної проникності, питомої провідності і кутової частоти. Якщо помножити цей параметр на корінь з двох, то чисельно він буде збігатися з товщиною скін-ефекту, але математичний і фізичний сенс його принципово інший. Поперечна довжина хвилі визначає число хвиль, які укладаються поперек дроти. Тут можна провести аналогію з його поздовжнім аналогом, але на відміну від останнього поперечна довжина на порядки менше, а частота коливань змінюється вздовж осі \(y\). Для порівняння: для мідного дроту і частоти 10 кГц поздовжня довжина хвилі складе 30 кілометрів, а поперечна — всього 0.47 міліметрів!
Але давайте про все по-порядку. На малюнку (3) ми припустили, як повинна виглядати картина скін-ефекту в динаміці. Тепер давайте скористаємося математичним редактором MathCAD [3], за формулою (1.6) або (1.7) побудуємо динамічний векторний графік, і порівняємо передбачуваний і реальний малюнки. Якщо в підстановці ми будемо припускати, що діаметр нашого провідника \d\) дорівнює його поперечної довжині хвилі, то отримаємо малюнок (4). Якщо ж уздовж діаметра провідника укладаються дві поперечні довжини хвилі, то отримаємо більш складну картину на малюнку (5). Аналогічно, якщо вздовж діаметра провідника укладаються три поперечні довжини хвилі, то ми отримаємо ще більш динамічний малюнок (6). Не забуваємо тільки, що на малюнках ми зображуємо тільки частину поздовжнього перерізу провідника: низ малюнка — його поверхня, верх малюнка — його середину.
Рис.4. Динамічний розподіл густини струму в проводі при d = Λ
Рис.5. Динамічний розподіл густини струму в проводі при d = 2Λ
Рис.6. Динамічний розподіл густини струму в проводі при d = 3Λ
Насправді, при змінному струмі, поточному через провідник, динамічний скін-ефект буде породжувати велику кількість частот і довжин хвиль, але після деякого значення вони швидко затухають. Саме це значення і було взято за довжину поперечної хвилі. Якщо ми подивимося на динамічні малюнки (5-6), то в якийсь момент ми зможемо побачити це значення. Для більшої наочності ми зафіксували ці моменти на наступних двох статичних зображень (рис. 7-8).
Рис.7. Один момент у динамічному розподіл щільності струму при d = 2Λ
Рис.8. Один момент у динамічному розподіл щільності струму при d = 3Λ
Як ми бачимо, на малюнку (7), між поверхнею провідника і його центром покладена 1 хвиля, а значить по всьому діаметру в цей момент укладаються дві хвилі. Аналогічно, на малюнку (8), між поверхнею провідника і його центром можна бачити 1.5 хвилі, а значить по всьому діаметру в цей момент поміщаються три хвилі.
З цієї роботи видно, що деякі властивості скін-ефекту відповідають класичній електродинаміці. Наприклад, це стосується того факту, що при змінному струмі, його більша частина біжить в приповерхневому шарі провідника. Однак, частина явищ класикою не враховується. Це відноситься до складної структури струмів і їх частот всередині дроти. У наступній роботі ми продовжимо розвивати цю незвичайну тему і покажемо більш складні картини динамічного розподіл густини струму в провіднику, а також, отримаємо деякі енергетичні співвідношення, які безкоштовно дарує нам цей чудовий ефект.
Використовувані матеріали
  1. Вікіпедія. Скін-ефект.
  2. Рисін А. В., Рисін О. В., Бойкачев В. Н., Нікіфоров В. К. Парадокс скін-ефекту. [PDF]
  3. Вікіпедія. MathCAD.