Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
2020-06-11
Всі статті/Вільна енергія. Теорія
Енергетика фазового зсуву струму в котушці індуктивності
Ця робота є спробою теоретичного обґрунтування ефекту, який був отриманий в результаті серії експериментів з фазовим зрушенням струму в котушці індуктивності. Його зміст досить простий. У ланцюга (рис. 1), що складається з джерела синусоїдальної напруги U, паралельного коливального контура LC і активного опору R, в деякий момент часу, допустимо в кожному десятому коливанні, відбувається зрушення фази струму \(I_L\) в котушці L.
Схема для расчёта энергетики фазового сдвига тока в катушке индуктивности
Рис.1. Схема для розрахунку енергетики фазового зсуву
При цьому інша ланцюг, в цей момент, не встигає реагувати на швидку зміну фази, а перехідний процес триває мінімум десять коливань, після чого ланцюг відновлює свої початкові параметри. По суті, мова йде про ефективне перетворення реактивної енергії в активну.
Отримати такий зсув можна параметричним способом, що докладно описано в методиці цього експерименту. Оскільки отримання такого зсуву, ймовірно, можливо і іншими методами, то подається тут математична модель хоч і наближена, але найбільш узагальнена.
Для ідеального рішення цієї задачі треба було б застосування рекурсивних рівнянь, що досить складно і просто неможливо без застосування комп'ютерних обчислень, а наше завдання — отримати оціночні дані цього ефекту в аналітичному вигляді. Тому, ми застосуємо не зовсім звичайну методику, засновану на припущенні про те, що в порівнянні зі швидкістю зміни фази струму, швидкість зміни амплітуди струму в котушці можна вважати повільно змінюється. Такий підхід дуже ідеалізовано і не враховує деякі параметри, зате він відносно простий і в ньому можна застосувати класичний «Метод комплексних амплітуд» [1-3].
Алогритм наших дій наступний. Спочатку необхідно знайти залежність струму в навантаженні R від струму в індуктивності L: \[I = a\, U + b\, I_L \qquad (1)\] де: \(a, b\) — деякі коефіцієнти, які в загальному випадку, можуть бути комплексними; струм в індуктивності \(I_L\) має комплексне значення, яке і показує зсув фази відносно джерела напруги \(U\), що задає ці коливання: \[I_L = Re(I_L) + \mathbf{i}\, Im(I_L) \qquad (2)\] Тут \(Re(I_L), Im(I_L)\) — відповідно дійсне і уявне значення струму, співвідношення між якими і дає цю фазу. Але це постійний фазовий зсув у сталому процесі, а нам тут необхідно врахувати ще й передбачуваний в експерименті швидкий зсув фази, на який ланцюг, за нашим припущенням, реагувати не встигає. Облік цього значення в радіоелектроніці робиться просто: струм домножается на формулу Ейлера \(e^{\mathbf{i} \alpha}\) [4], де \(\alpha\) — кут швидкого фазового зсуву. Значення струму в індуктивності, що враховує і стале, і перехідне значення фази, тепер буде таким: \[I_{\alpha} = a\, U + b\, I_L\, e^{\mathbf{i} \alpha} \qquad (3)\] Щоб відрізнити усталений струм від струму зі зміщенням, останній — будемо позначати тепер так: \(I_{\alpha}\). Можна помітити, що якщо кут \(\alpha\) дорівнює нулю, то формула (3) перетворюється у формулу (1). Наступним кроком нашого алгоритму буде підрахунок енергетичних співвідношень.
Енергетика фазового зсуву
Щоб підрахувати енергетичні співвідношення, що виділяються на наргузке R при швидкому фазового зсуву, нам потрібно порівняти дві потужності: потужність, що витрачається на харчування всьому ланцюгу і потужність, що отримується в навантаженні. Знаходяться вони так: \[P = |I|\, U, \quad P_{\alpha} = |I_{\alpha}|^2 R \qquad (4)\] Тут струми взяті по модулю. Це важливо. Тоді приріст ККД другого роду буде знаходитися відносини цих потужностей: \[K_{\eta 2} = {P_{\alpha} \over P} = {|I_{\alpha}|^2 R \over |I|\, U} \qquad (5)\] У формулі (5) не враховуються витрати на пристрій, який створює швидкий фазовий зсув і звичайний ККД реальної установки. Це ми зробимо пізніше, при більш точному обрахунку для реальних установок. Поки ж нам важливо отримати деякі якісні та кількісні параметри для підтвердження ефекту.
Розрахунок
Скористаємося правилом Кірхгофа [5] для ланцюга (рис. 1) і методом комплексних амплітуд [1-3] складемо два рівняння: \[I\, R = U - I_L\, X_L \qquad (6)\] \[I = U {X_L + X_C \over R (X_L + X_C) + X_L X_C} \qquad (7)\] де: \(X_L = \mathbf{i} \omega L + r\) — комплексний опір котушки індуктивності L і її активного опору \r\), а \(X_C = 1 / \mathbf{i} \omega C\) — реактивне опір ємності C. В цих формулах \(\omega\) — кутова частота [6]. З цих формул, шляхом деяких перетворень, ми отримаємо наступні значення струмів: \[I = \frac{U}{R} {G \over G + H}, \quad G = \Delta + \mathbf{i} {1 - \Delta \over Q} \qquad (8)\] \[I_{\alpha} = \frac{U}{R} {G + H (1 - e^{\mathbf{i} \alpha}) \over G + H}, \quad H = q\, (1/Q + \mathbf{i}) \qquad (9)\] Тут: \(Q = \omega L / r\) — добротність LC контура; \(q = \omega L / R\) — добротність системи; \(\Delta = 1 - \omega^2 LC\) — коефіцієнт відхилення від резонансу (при досягненні резонансу цей параметр дорівнює нулю). Тепер, отримані формули підставимо в (5) і виведемо значення приросту ККД: \[K_{\eta 2} = {|G + H (1 - e^{\mathbf{i} \alpha})|^2 \over |G + H| |G| } \qquad (10)\] Як видно з останньої формули, якщо \(\alpha = 0\), тобто зсуву фази немає, то і приріст ККД не може перевищувати одиницю. Але давайте розглянемо випадки, коли зсув фази є.
Деякі закономірності
Перше, що можна відразу зауважити — якщо значення кута зрушення фази недостатнє, то потрібний ефект не досягається. На наступному графіку (рис. 2) представлені залежності приросту ККД від фазового кута \(\alpha\) і коефіцієнта відхилення від резонансу \(\Delta\) (КОР). Тут видно, що якщо \(\alpha = 0\) (червоний графік), то приріст ККД завжди менше одиниці. При збільшенні кута зсуву, після деякого його значення, приріст виходить за одиничне значення, що може означати на практиці появу потрібного ефекту. В даному випадку, це відбувається при \(\alpha \gt 0.25\). Наприклад, малинова пунктирна крива, при \(\alpha = 0.4\), сягає в максимумі значення 1.8.
Друге, з графіка видно, що максимум уваги знаходиться не точно у резонансі, а трохи вище нього. Можна перевірити, що якщо кут зсуву від'ємний, то такий максимум буде розташовуватися нижче резонансу. Це спостерігалося і в експерименті.
Рис.2. Залежність приросту ККД від кута зсуву і КОР при Q = 10, q = 1
Цей графік (рис. 2) побудований при наступних значеннях добротностей: \(Q = 10, q = 1\), але давайте змінимо ці параметри на інші, наприклад, збільшимо добротність контуру до 100. Як бачимо (рис. 3), приріст також збільшився, але мінімальні значення фазового кута, при яких з'являється ефект, все одно залишаються.
Рис.3. Залежність приросту ККД від кута зсуву і КОР при Q = 100, q = 1
Давайте збільшимо до десяти також і добротність системи(q\), що значно збільшить максимальні значення приросту ККД (рис. 4).
Рис.4. Залежність приросту ККД від кута зсуву і КОР при Q = 100, q = 10
Але чи можна одержати ефект при обох добротностях рівних одиниці? Згідно з математики — можна, правда, при цьому доведеться збільшити частоту генератора приблизно в 1.3 рази відносно резонансної частоти LC-контуру, а кут зсуву фази зробити достатньо великою (рис. 5). До речі, кут в цій роботі скрізь обчислюється в радіанах.
Рис.5. Залежність приросту ККД від кута зсуву і КОР при Q = 1, q = 1
Деякі спрощення
Формула (10), з якої були побудовані всі графіки, досить громіздка. Але якщо взяти деякі умови, то її можна значно спростити. Якщо ми приклад, що система знаходиться в резонансі, кут зсуву невеликий, а добротності навпаки — досить великі, то формула (10) спрощується так: \[K_{\eta 2} \approx q\ Q\, \alpha^2, \quad \Delta = 0, \quad q\ Q\, \alpha \gg 1, \quad \alpha \lt 0.45 \qquad (11)\]
Приклад за формулою (11)
Припустимо, що частота генератора 16 кГц, індуктивність котушки L = 1 мГн, навантаження R = 100 Ом, а кут зсуву \(\alpha = 0.12\). Тоді, з формули (11) випливає, що для приросту ККД більше одиниці потрібно, щоб добуток двох добротностей було таке: \(q Q \gt 70\). Імпеданс котушки на частоті генератора: \(\omega L = 100\) Ом, отже добротність системи дорівнює одиниці: \(q = 1\). Звідси випливає, що необхідно збільшувати добротність котушки \(Q\) мінімум до 70, а враховуючи втрати на ККД всіх перетворень і самого зсуву, цей параметр слід збільшувати в рази більше. У реальності цього можна досягти застосовуючи товстий мідний дріт, в ідеалі, виконаний з безкисневої міді.
Також, можна розрахувати тривалість зсуву. Враховуючи, що кут вважається в радіанах, а повний період буде дорівнює \(2 \pi\), то по тривалості зрушення буде тривати приблизно 2% часу від повного коливання генератора, або по часу — приблизно 1 мкс.
Висновки
У цій роботі було представлено можливе теоретичне обґрунтування експериментально отриманого ефекту зсуву фази струму в котушці індуктивності. У формулах, виведених тут, не враховуються деякі параметри, наприклад, втрати в діелектрику конденсатора або в проводах. Також, не враховується ККД елементів генератора і витрати на створення швидкого фазового зсуву. Тим не менш, в певному наближенні вдалося виявити і сам ефект, і деякі його закономірності математичної аналітичній формі, що може бути платформою для подальшого розвитку цієї безсумнівно цікавої теми.
З графіків, представлених у цій роботі, добре видно відміну кривий класичного резонансу і резонансу при зсуві фази струму: максимум зміщується в залежності від кута зсуву. Цей момент треба враховувати при разрабоке пристроїв, що працюють на цьому принципі.
Є деякі особливості застосування виведених у цій роботі формул. Так наприклад, на самому початку ми припустили, що зсув струму буде здійснюватися лише кожне десяте коливання. Звідси випливає, що середній приріст ККД необхідно ділити на 10. Оскільки час реакції LC-контуру визначається його добротністю, і добротність приблизно дорівнює цьому числу коливань, то в більш загальному випадку, отримані результати правильніше ділити на параметр \(Q\). При цьому, число коливань, через яке здійснюється зсув фази, також приблизно дорівнює \(Q\). Незважаючи на цей нюанс, приріст ККД більше одиниці можливий; приклади — на малюнках (4) і (5).
Звідси прямо випливає, що для досягнення максимального ефекту необхідно збільшувати не стільки добротність LC-контуру, скільки добротність системи(q\). Також, в реальних пристроях необхідно досягнення мінімального кута зсуву фази струму, при якому буде спостерігатися пропонований тут ефект.
Використовувані матеріали
  1. Л. А. Безсонов. Теоретичні основи електротехніки. 1996. – 638 с, пп 3.11. Основи символічного методу розрахунку кіл синусоїдного струму.
  2. Застосування комплексних чисел для розрахунку електричних ланцюгів (Метод комплексних амплітуд).
  3. ЛЕКЦІЯ №4. Метод комплексних амплітуд.
  4. Вікіпедія. Формула Ейлера.
  5. Вікіпедія. Правила Кірхгофа.
  6. Вікіпедія. Кутова частота.