Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
2019-08-20
Всі статті
Метод збільшення ККД 2-го роду на параметричному LR-контурі
З визначення ККД другого роду випливає, що для його збільшення необхідно беззатратно підвищувати напругу при тому ж самому заряді. З відомих реактивних елементів таку можливість дає індуктивність, але не безпосередньо, а при певних маніпуляціях з цим параметром: її параметричного зміни. Якщо уявити собі котушку, в якій у момент її накачування струмом, а значить і зарядом, індуктивність має одне значення, а при відключенні накачування і появі зворотної ЕРС — інше і більше, то ми отримуємо більш високу напругу при тому ж самому заряді. Ще більше підвищити ефективність такого принципу можна, якщо змінювати опір в LR-ланцюга одночасно зі зміною індуктивності. Сама по собі зміна цього параметра не призводить до підвищення ККД.
У цій замітці ми поговоримо про метод, в якому використовується параметрична індуктивність і активний опір послідовної LR-ланцюги, а параметром виступає час. Тут ми зупинимося лише на одному варіанті, який нам здається найбільш простим з точки зору математичного апарату і з позиції його реалізації, але цей же принцип цілком можна распостранить і на інші рішення. Спочатку ми розберемо його математику, покажемо теоретичну можливість збільшення \(\eta_{2}\), а потім переклавши все це на схемотехніку реального пристрою.
З формули (4.8) цієї роботи ми з'ясували енергетичні співвідношення в параметричній ланцюга. В даному випадку конкретизуємо її до малюнка (1a): \[W_R + W_F = W_E \qquad (1.1)\] Тут: \(W_R\) — енергія, що розсіюється на активному опорі \R\), \(W_F\) — енергія, запасаемая або віддається індуктивністю \L\), а \(W_E\) — енергія від джерела живлення \(U\). Тоді формула, яка нам дасть картину збільшення або зменшення ККД буде, очевидно, такий: \[K_{\eta 2} = {W_R \over W_E} \qquad (1.2)\] У разі, коли індуктивність не змінюється, і спочатку запасає, а потім віддає енергію, ККД дорівнює одиниці і \(K_{\eta 2} = 1\). Але нам цікавий варіант, при якому \(K_{\eta 2} \gt 1\), який ми і будемо обговорювати далі. Спочатку ми пригадаємо, як вважаються струми і енергії в RL-ланцюгах з постійними параметрами, а потім почнемо змінювати їх у часі.
Рис.1. Еквівалентні схеми для розрахунків (a,b) і графік струму в індуктивності (c)
З теорії перехідних процесів [1] нам відомо, що в послідовного ланцюга (рис. 1a), що складається з джерела напруги \(U\), індуктивності \L\) і активного опору \R\), після замикання ключа SW1, струм буде знаходитися так: \[I(t) = {U \over R} (1 - e^{-t/\tau}), \quad \tau = {L \over R} \qquad (1.3)\] Тоді енергія, що розсіюється на опорі за час(T\) буде знаходитися так \[W_R = R \int \limits_0^T I(t)^2 \Bbb{d}t \qquad (1.4)\] а енегрія, споживана від джерела живлення за той же час, — так: \[W_E = \int \limits_0^T U I(t) \Bbb{d}t \qquad (1.5)\] Але якщо ми підставимо (1.4-1.5) в (1.2), і все проинтегрируем, то отримаємо \(K_{\eta 2} \le 1\). Адже спочатку ми планували зовсім інший результат.
Підвищуємо ККД
Давайте спробуємо змінювати індуктивність і опір у часі, щоб добитися потрібного нам результату. Для цього розрахуємо схему, представлену на малюнку (1b), в якій два ключа, SW1 і SW2, працюють по черзі: ключ SW1 підключає ланцюг \(L_1 R_1\) до джерела живлення в інтервал часу (\(0, T_1\)), потім розмикає свої контакти, а ключ SW2 — замикає і цим замикає другу ланцюг \(L_2 R_2\) в інтервалі (\(T_1, T\)), де(T\) — час періоду, після якого все повторюється. Дві індуктивності пов'язані єдиним магнітним потоком, і оскільки вони працюють в різні періоди часу, то можна вважати, що це одна і та ж індуктивність, яка змінює свій параметр часу. Тоді ми повинні розглянути енергетику двох процесів для двох інтервалів часу (рис. 1c).
1 інтервал: \(0 .. T_1\).
Струм для цього інтервалу знаходимо з формули (1.3), який відразу ж підставляємо в (1.4-1.5): \[W_{R1} = {U^2 \over R_1} \int \limits_0^{T_1} (1 - e^{-t/\tau 1})^2 \Bbb{d}t \qquad (1.6)\] \[W_{E1} = U \int \limits_0^T (1 - e^{-t/\tau 1}) \Bbb{d}t, \quad \tau_1 = {L_1 \over R_1} \qquad (1.7)\]
2 інтервал: \(T_1 .. T\).
На початку другого інтервалу струм в ланцюзі буде максимальний — \(I_1\), а оскільки джерело живлення тут відключається, то спад цього струму буде знаходитися за іншою формулою: \[I(t) = I_1 e^{-t/\tau2}, \quad \tau_2 = {L_2 \over R_2} \qquad (1.8)\] Сам же струм буде перебувати з (1.3) з урахуванням даних першого інтервалу: \[I_1 = {U \over R_1} (1 - e^{-T_1/\tau1}) \qquad (1.9)\] Тоді енергетику ланцюга для другого інтервалу будемо шукати так: \[W_{R2} = R_2 I_1^2 \int \limits_{0}^{T-T_1} e^{-2t/\tau 2} \Bbb{d}t \qquad (1.10)\] \[W_{E2} = 0 \qquad (1.11)\] Тут ми чинимо так, як-ніби це незалежний початковий інтервал з початковим струмом \(I_1\), а тому межі інтегрування беремо такі: (\(0, T-T_1\)). Енергія від джерела живлення в цьому інтервалі не потреблятся і тому прирівнюється до нуля.
Ми підійшли до найцікавішого — загальний ККД та можливості його збільшення. З (1.2) випливає, що збільшення/зменшення ККД ми можемо знайти розділивши енергію, рассеиваемую на опорі на енергію, споживану від джерела живлення. В нашому випадку потрібно підрахувати все це для двох інтервалів \[K_{\eta 2} = {W_{R1} + W_{R2} \over W_{E1} + W_{E2}} \qquad (1.12)\] значення яких знаходяться відповідно з формули (1.6-1.7) і (1.10-1.11), після їх інтегрування. Ми не будемо мучити наших читачів викладками і відразу наведемо остаточний результат: \[K_{\eta 2} = {S_1 - 1.5 + 2 e^{-S_1} (1 - 0.25 e^{-S_1}) + 0.5 \delta \left(1 - e^{-S_1}\right)^2 (1 - e^{-2 S_2}) \over S_1 - 1 + e^{-S_1}} \qquad (1.13)\] де: \[S_1 = {T_1 \over \tau_1}, \quad S_2 = {T - T_1 \over \tau_2}, \quad \delta = {L_2 \over L_1} \] Саме собою зрозуміло, що весь період повинен бути більше його частини, тобто: \T \gt T_1\). Можна показати, що якщо відношення індуктивностей буде дорівнює одиниці (тобто в обох інтервалах індуктивність однакова), то приросту ККД не буде. Або, в більш загальному вигляді: \[K_{\eta 2} \le 1 \quad \Bbb{if} \quad \delta \le 1 \qquad (1.14)\] Зате якщо індуктивність на другому інтервалі буде більше індуктивності на першому, то, за умови дотримання інших параметрів, приріст цілком можливий.
Рис.2. Графік залежності зміни ККД від параметрів схеми при \(\delta = 1\)
Рис.3. Графік залежності зміни ККД від параметрів схеми при \(\delta = 1.5\)
Графіки на рисунках (2,3) будувалися за формулою (1.13), де представлена наступна залежність: \(K = K_{\eta 2}(S_1, S_2)\). На першому з них наводиться ККД для схеми без зміни індуктивності, а на другому — приклад можливого підвищення ККД другого роду при відношенні індуктивностей, рівним півтора. Вже на даному етапі стає очевидно, що для підвищення ККД просто необхідно зміна індуктивності в більшу сторону при обриві струму накачування, а також, як можна більшого значення \(S_2\), що можливо, наприклад, коли другий робочий інтервал набагато більше першого (більша шпаруватість імпульсу).
Звичайно ж, цей розрахунок має тільки теоретичне значення, оскільки в ньому не враховуються додаткові реальні фактори: активний опір проводів котушок, прохідна і власна ємність котушки, ККД генератора \(U\), перехідні процеси перемикання ключів. Про це, і про більш реалістичною схемотехніці, ми поговоримо в наступній частині цієї роботи.
 
Використовувані матеріали
  1. Перехідні процеси в RLC-колах першого порядку.