2016-07-29
Персональний сайт В'ячеслава Горчіліна
Всі статті
Параметричне зміна опору, ємності й індуктивності в RLC-колах
Відомо, що математичне моделювання і аналіз RLC-кіл дають дуже точне співпадання з практикою. У цій роботі ми використовуємо це досягнення цивілізації, і на прикладі двох різних ланцюгів спробуємо спростувати або довести деякі гіпотези отримання додаткової енергії за допомогою параметричного зміни опору, ємності або індуктивності.
1. Параметричне зміна опору RC та RL-ланцюга
Тут ми розглянемо один з підходів до вирішення задачі пошуку надбавки енергії в RC або RL-ланцюгах, де опір \R\) може залежати від напруги або струму в ланцюзі, або від часу. Цей підхід є більш загальним, ніж той, який розглядався раніше. Для початку, узагальнимо параметричну залежність, і представимо її як: \(R=R(t)\). В такому вигляді вона включає в себе всі інші можливі залежності, оскільки в кінцевому рахунку весь процес протікає в часі \t\).
RC или RL-цепочка с параметрическим сопротивлением зависящим от времени
Наша електрична ланцюг буде складатися з джерела напруги \(U\) (з джерелом струму все можна довести так само), параметричного опору \R\) і характеристичного — \Z\), яке в реальності може бути постійною ємністю або індуктивністю. Вважаємо, що в перший момент часу в конденсаторі (індуктивності) енергія відсутня.
Ємнісна ланцюг
Запишемо диференціальне рівняння для цієї ланцюга [1]: \[Z\,R(t)\,\dot Y_t + Y = U(t), \quad Y=Y(t) \qquad (1.1)\] де: \(Y\) — напруга, а \Z\) — ємність. Нам також відомий закон, за яким змінюється струм в ємності. Нагадаємо його: \[\Phi(t) = Z\,\dot Y_t \qquad (1.2)\] де: \(\Phi\) — струм. Підставимо формулу (1.2) в (1.1) отримаємо характеристичне рівняння: \[R(t)\,\Phi(t) + Y = U(t) \qquad (1.3)\] Тепер домножим праву і ліву його частини на \(\Phi\) і проинтегрируем їх: \[\int_{0}^{T} R(t)\,\Phi(t)^2\, dt + \int_{0}^{T} Y\,\Phi(t)\, dt = \int_{0}^{T} U(t)\,\Phi(t)\, dt \qquad (1.4)\] де: \T\) — час досліджуваного процесу. У формулі (1.4) перший доданок не що інше, як енергія, що розсіюється на опорі \R\), друге — потенційна енергія в конденсаторі, а праворуч від знака рівності розташовується енергія, яку витрачає джерело харчування на весь процес.
Якщо з першим та третім доданком все ясно, то друге — потрібно прояснити. Підставляючи туди формулу (1.2) отримуємо такий інтеграл: \[\int_{0}^{T} Y\Z\,\dot Y_t\, dt = Z \int_{0}^{T} Y\, dY = \frac{Z}{2} Y^2\, \bigg |_{0}^{T} \qquad (1.5)\] \(Y(0)\) — це напруга на ємності в перший момент, яке може бути одно тільки нулю, а отже шукане другий доданок буде таким: \[\int_{0}^{T} Y\,\Phi(t)\, dt = \frac{Z}{2} Y(T)^2 \qquad (1.6)\] Зауважимо, що це доданок може бути тільки позитивним. Перенесемо його в праву частину (1.4) і отримаємо наш доказ: \[\int_{0}^{T} R(t)\,\Phi(t)^2\, dt = \int_{0}^{T} U(t)\,\Phi(t)\, dt - \frac{Z}{2} Y(T)^2 \qquad (1.7)\] Тепер зліва — енергія, яку ми отримуємо на опорі, а праворуч — витрачається джерелом живлення, мінус залишкова — на ємності. Очевидно, що отримана енергія може бути тільки менше, або дорівнює енергії джерела живлення.
Індуктивна ланцюг
Доказ для індуктивної ланцюга проводиться схожим чином. Диференціальне рівняння буде таким: \[R(t)\,Y + Z\,\dot Y_t = U(t), \quad Y=Y(t) \qquad (1.8)\] де: \(Y\) — струм в ланцюзі, а \Z\) — індуктивність. Залежність напруги від струму за формою запису така ж: \[\Phi(t) = Z\,\dot Y_t \qquad (1.9)\] тільки тут \(\Phi\) — напруга на індуктивності. Характеристичне рівняння в цьому випадку виглядає так: \[R(t)\,Y + \Phi(t) = U(t) \qquad (1.10)\] Домножая всі його члени на \(Y\) і інтегруючи, отримаємо: \[\int_{0}^{T} R(t)\,Y^2\, dt + \int_{0}^{T} Y\,\Phi(t)\, dt = \int_{0}^{T} U(t)\Y\, dt \qquad (1.11)\] З другим членом рівняння чинимо так само, як і в ємнісний ланцюга, що приводить нас до кінцевого рівнянню: \[\int_{0}^{T} R(t)\,Y^2\, dt = \int_{0}^{T} U(t)\Y\, dt - \frac{Z}{2} Y(T)^2 \qquad (1.12)\] Висновок з нього аналогічний попередньому випадку: одержувана на опорі енергія може бути тільки менше, або дорівнює енергії джерела живлення.
Висновки
Наведене доказ показує, що в RC або RL-ланцюга, де ємність і індуктивність постійні, а опір параметричне, збільшення енергії бути не може. Причому, це не залежить ні від характеру параметричної залежності, ні від обраного часового діапазону.
Далі ми опишемо куди більш складний процес з параметричної ємністю і знайдемо одна умова для отримання надбавки енергії в такий ланцюга.
 
1 2 3 4 5

© Горчилин В'ячеслав, 2016 р.
* Передрук статті можлива за умови встановлення посилання на цей сайт та додержанням авторських прав

« Назад
2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin