2016-08-01
Персональный сайт Вячеслава Горчилина
Все статьи
2. Параметрическое изменение ёмкости в RC-цепи
В предыдущей части повествования мы доказали невозможность дополнительно прибавки энергии в RC и RL-цепи даже, если сопротивление параметрическое. Здесь мы покажем, что при обычных условиях в случае с параметрической ёмкостью прибавку также не получить. Но есть одно исключение...
Рассмотрим схему RC-цепочки в которой сопротивление \(R\) — постоянная величина, а ёмкость \(C\) — зависит от напряжения. Работая схемы проста: в первый момент времени (\(T_1\)) замыкается ключ SW1 и заряжает конденсатор. Во второй момент времнени (\(T_2\)) ключ SW1 размыкается, но замыкается SW2 и конденсатор разряжается на сопротивление. RC-цепочка с параметрической ёмкостью зависящей от напряжения Эти два момента и будем рассматривать по-отдельности.
Общий подход к теории переходных процессов описан в источнике [1]. Исходя из этого оставим уравнение для момента \(T_1\): \[ {dU(t) \over dt} + {U(t) \over C(U) \, R} = {U_{max} \over C(U) \, R} \qquad (2.1) \] где: \(U(t)\) — напряжение на конденсаторе \(C\) ёмкость которого зависит от напряжения \(C = C(U)\), \(U_{max}\) — напряжение на источнике напряжения \(E\). Параметрическую зависимость ёмкости от напряжения выразим в таком простом виде: \[ C(U) = {C_{max} \over k_0 + k_1 \, {U(t) \over U_{max}}}, \quad U(t) \in [0, U_{max}] \qquad (2.2) \] где: \(C_{max}\) — максимальная ёмкость при минимальном напряжении \(U = 0\), а \(U_{max}\) — максимальное напряжение при минимальной ёмкости, которое равно напряжению на \(E\); в диапазоне \([0, U_{max}]\) наша параметрическая ёмкость и будет работать. Коэффициенты \(k_0\) и \(k_1\) — определяют характер зависимости \(C\) от \(U\).
Аналитическое решение полученного в результате подстановки (2.2) в (2.1) дифференциального уравнения довольно громоздко, поэтому воспользуемся ещё один достижением цивилизации — математическим редактором, Численное решение дифференциального уравнения в MathCAD который может достаточно точно находить его решение в наглядной численной форме [2].
Для удобства введём постоянную времени \(\tau = R\,C_{max}\), запишем уравнение по правилам MathCAD [2], подставим туда для примера \(\tau=0.5, \, k_0=0.2, \, k_1=4, \, U_{max}=1\) и посмотрим на результат. Как видим, кривая зарядки конденсатора сильно отличается от классической, когда ёмкость — величина постоянная. Полную программку расчёта в MathCAD-е для этого примера можно скачать здесь.
Чтобы не путать с \(U(t)\) выберем для второго момента времени (\(T_2\)) другую функцию — \(V(t)\) и также составим уравнение: \[ {dV(t) \over dt} + {V(t) \over C(V) \, R} = 0 \qquad (2.3) \] Численное решение дифференциального уравнения в MathCAD (2) Опять же, для примера подставим в уравнение те же данные, посмотрим на результат и сравним их. Обращая внимание на ось времени \(t\) видим, что разряд параметрического конденсатора длится дольше, чем его заряд.
Программка для MathCAD находится здесь.
Энергия заряда-разряда
Зная зависимости от напряжения можно приступить к подсчёту энергий, после чего мы сможем их сравнить и сделать выводы о дополнительной прибавке. При заряде, энергия из источника питания \(W_E\) расходуется на нагрев сопротивления \(W_R\) и на заряд конденсатора \(W_C\). Далее запишем эти энергии в виде отдельных формул. Все они следуют из классической электротехники. \(W_E\) находится, как \( \int E {U_R \over R} \, dt \), где \(U_R\) - напряжение на \(R\) : \[ W_E = {U_{max} \over R} \int_0^{\infty} (U_{max}-U(t)) \, dt \qquad (2.4) \] \(W_R\) выводится из формулы \( \int {U_R^2 \over R} \, dt \) : \[ W_R = {1 \over R} \int_0^{\infty} (U_{max}-U(t))^2 \, dt \qquad (2.5) \] \(W_C\) находится из формулы нахождения потенциальной энергии \( \int C \, U \, dU \) : \[ W_С = C_{max} \int_0^{U_{max}} {U \over k_0 + k_1\,U} \, dU \qquad (2.6) \] Таким образом, отношение полученной энергии к затраченной и должно нам показать — есть ли прибавка энергии в первом такте: \[ {W_R + W_C \over W_E} = K \qquad (2.7) \] Также, мы можем подсчитать прибавку энергию в полном цикле: заряд-разряд. Для этого нужно сложить энергию на сопротивлении при разряде конденсатора \(W_{R2}\) с подобной при заряде \(W_R\), и снова сравнить с затраченной: \[ {W_R + W_{R2} \over W_E} = K_2 \qquad (2.8) \] \(W_{R2}\) находим из формулы \( \int {V_R^2 \over R} dt \) : \[ W_{R2} = {1 \over R} \int_0^{\infty} V(t)^2 \, dt \qquad (2.9) \]
Теперь запишем всё это в мат. редактор и посмотрим на результаты. Рекомендуем всё посмотреть непосредственно в MathCAD-е, но вывод однозначный: коэффициенты \(K\) и \(K_2\) равны единице при любых значениях \(\tau, k_0, k_1\) (в разумных пределах разумеется). Причём, результат не меняется даже, если вместо зависимости (2.2) выбрать любую другую, например, степенную: \[ C(U) = {C_{max} \over \left( k_0 + k_1 \, {U(t) \over U_{max}} + k_2 \, \left({U(t) \over U_{max}}\right)^2 \right)^2} \]
Программка для MathCAD находится здесь.

Таким образом, в RC-цепи с постоянным сопротивлением и параметрической ёмкостью невозможно получить прибавку энергии!

Исключение
Если когда-нибудь будут разработаны материалы, у которых будет можно беззатратно переключать коэффициент \(k_1\) с положительного на отрицательный (при заряде — положительный, при разряде — отрицательный), то в этом случае, при полном цикле заряд-разряд, получение прибавки представляется вполне реальным.
Полностью это отражено в этой программке для MathCAD.

Горчилин Вячеслав, 2016 г.
* Перепечатка статьи возможна с условием установки ссылки на этот сайт и соблюдением авторских прав

« Назад
2009-2017 © Vyacheslav Gorchilin