2016-08-01
Forschungswebsite von Vyacheslav Gorchilin
2. Parametrische änderung der Kapazität im RC-Stromkreis. Beispiel
Im vorherigen Teil der Erzählung haben wir bewiesen die Unfähigkeit, zusätzlich Zulagen Energie in RC-und RL-schaltungen sogar, wenn der Widerstand Parametrisch. Hier zeigen wir, dass unter normalen Bedingungen im Fall von parametrischen Anstieg der Kapazität auch nicht bekommen. Entsprechend der Klassifizierung der hier betrachtet wird der generator Erster Art Erster Ordnung mit einem vollen Zyklus.
Betrachten Sie das Schema der RC-Kette in dem Widerstand \(R\) — Konstante, und die Kapazität \(C\) — abhängig von der Spannung. Funktionierendes Schema ist einfach: im ersten Augenblick (\(T_1\)) schließt der Schlüssel SW1 und lädt den Kondensator. Im zweiten Moment времнени (\(T_2\)) der Schlüssel SW1 öffnet, aber SW2 geschlossen und der Kondensator entlädt sich auf den Widerstand. RC-цепочка с параметрической ёмкостью зависящей от напряжения Diese zwei Punkte betrachtet werden einzeln.
Der Allgemeine Ansatz für die Theorie der Transienten wird in der Quelle [1]. Davon ausgehend wir stellen die Gleichung für den Zeitpunkt \(T_1\): \[ {dU(t) \over dt} + {U(t) \over C(U) \, R} = {U_{max} \over C(U) \, R} \qquad (2.1) \] wobei: \(U(t)\) die kondensatorspannung \(C\) dessen Kapazität abhängig von der Spannung \(C = C(U)\), \(U_{max}\) — Spannung an der Spannungsquelle \(E\). Parametrische Abhängigkeit der Kapazität von der Spannung drücken wir in dieser einfachen Form: \[ C(U) = {C_{max} \over k_0 + k_1 \, {U(t) \over U_{max}}}, \quad U(t) \in [0, U_{max}] \qquad (2.2) \] wobei: \(C_{max}\) die maximale Kapazität bei minimaler Spannung \(U = 0\) und \(U_{max}\) — die maximale Spannung bei minimaler Kapazität, die gleich der Spannung über \(E\); im Bereich \([0, U_{max}]\) unser parametrische Bestimmung der Kapazität und funktionieren. Die Koeffizienten \(k_0\) und \(k_1\) — bestimmen die Art der Abhängigkeit \(C\) von \(U\).
Die analytische Lösung der resultierenden Substitution (2.2) in (2.1) Differentialgleichung ist ziemlich umständlich, deswegen machen wir noch eine Errungenschaft der Zivilisation — mathematischen Editor, Численное решение дифференциального уравнения в MathCAD die ziemlich genau das finden, seine Entscheidung in übersichtlicher numerischer Form [2].
Für die Bequemlichkeit führen wir die Zeitkonstante \(\tau = R\,C_{max}\) schreiben wir die Gleichung nach den Regeln MathCAD [2], substituieren wir dort zum Beispiel \(\tau=0.5, \, k_0=0.2, \, k_1=4, \, U_{max}=1\) und wir werden das Ergebnis. Wie wir sehen, Ladung des Kondensators die Kurve unterscheidet sich stark von der klassischen, wenn die Kapazität — Menge konstant. Vollständige Programmheft der Berechnung in MathCAD-E für dieses Beispiel können Sie herunterladen hier.
Nicht zu verwechseln mit \(U(t)\) wählen wir für den zweiten Zeitpunkt (\(T_2\)) eine andere Funktion ist \(V(t)\) und auch wir stellen die Gleichung: \[ {dV(t) \over dt} + {V(t) \over C(V) \, R} = 0 \qquad (2.3) \] Численное решение дифференциального уравнения в MathCAD (2) Wieder, zum Beispiel substituieren wir in Gleichung die gleichen Daten, einen Blick auf das Ergebnis und vergleichen Sie. Die Aufmerksamkeit auf die Achse der Zeit \(t\) sehen, dass die Entladung des parametrischen Kondensator hält länger, als seine Ladung.
Programmheft für MathCAD befindet sich hier.
Die Energie der Ladung-Entladung
Wissend Abhängigkeit von der Spannung können Sie die Kalkulation der Energien, dann können wir Sie vergleichen und Rückschlüsse auf weitere eine Gehaltserhöhung. Bei der Ladung, die Energie aus einer Stromquelle \(W_E\) verausgabt sich auf die Erwärmung der Widerstand \(W_R\) und auf die Ladung auf dem Kondensator \(W_C\). Weiter schreiben wir diese Energie in Form von einzelnen Formeln. Sie alle Folgen von der klassischen Elektrotechnik. \(W_E\) ist \( \int E {U_R \over R} \, dt \), wobei \(U_R\) - Spannung auf \(R\) : \[ W_E = {U_{max} \over R} \int_0^{\infty} (U_{max}-U(t)) \, dt \qquad (2.4) \] \(W_R\) wird aus der Formel \( \int {U_R^2 \over R} \, dt \) : \[ W_R = {1 \over R} \int_0^{\infty} (U_{max}-U(t))^2 \, dt \qquad (2.5) \] \(W_C\) ist aus der Formel zu finden, die potentielle Energie \( \int C \, U \, dU \) : \[ W_С = C_{max} \int_0^{U_{max}} {U \over k_0 + k_1\,U} \, dU \qquad (2.6) \] also, das Verhältnis der erhaltenen Energie aufgewendet zu und sollte uns zeigen, ob der Anstieg der Energie in der ersten Taktzeit: \[ {W_R + W_C \over W_E} = K \qquad (2.7) \] Auch wir können zählen, die Erhöhung der Energie in den gesamten Zyklus: lade-Entlade -. Dazu addieren Sie die Energie auf Widerstand bei der Entladung des Kondensators \(W _ {R2}\) mit einer solchen bei der Ladung \(W_R\), und wieder vergleichen mit aufgewendet: \[ {W_R + W _ {R2} \over W_E} = K_2 \qquad (2.8) \] \(W _ {R2}\) finden wir aus der Formel \( \int {V_R^2 \over R} dt \) : \[ W _ {R2} = {1 \over R} \int_0^{\infty} V(t)^2 \, dt \qquad (2.9) \]
Schreiben Sie jetzt alles in Mat. Editor und einen Blick auf die Ergebnisse. Wir empfehlen, alle Beiträge direkt in MathCAD-E, aber die Schlussfolgerung ist eindeutig: die Koeffizienten \(K\) und \(K_2\) ist gleich eins, wenn alle Werte von \(\tau, k_0, k_1\) (in Grenzen natürlich). Wobei, das Ergebnis ändert sich auch, wenn statt der Abhängigkeit (2.2) wählen Sie eine beliebige andere, Z. B. степенную: \[ C(U) = {C_{max} \over \left( k_0 + k_1 \, {U(t) \over U_{max}} + k_2 \, \left({U(t) \over U_{max}}\right)^2 \right)^2} \]
Programmheft für MathCAD befindet sich hier.

Somit wird in der Kette der ersten Art des vollen Zyklus, mit konstantem Widerstand und parametrischer Kapazität, ist es unmöglich, erhalten die Zulage Energie!

 
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Горчилин Wjatscheslaw, 2016
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