2016-08-01
Персональний сайт В'ячеслава Горчіліна
Всі статті
2. Параметричне зміна ємності в RC-ланцюга. Приклад
У попередній частині розповіді ми довели неможливість додатково збільшення енергії в RC та RL-ланцюга навіть, якщо опір параметричне. Тут ми покажемо, що при звичайних умовах у випадку з параметричної ємністю надбавку також не отримати. Згідно класифікації тут буде розглядатися генератор першого роду першого порядку з повним циклом.
Розглянемо схему з RC-ланцюжка в якій опір \R\) — постійна величина, а ємність \(C\) — залежить від напруги. Працюючи схеми проста: в перший момент часу (\(T_1\)) замикається ключ SW1 і заряджає конденсатор. У другій момент времнени (\(T_2\)) ключ SW1 розмикається, але замикається SW2 і конденсатор розряджається на опір. RC-цепочка с параметрической ёмкостью зависящей от напряжения Ці два моменти і будемо розглядати окремо.
Загальний підхід до теорії перехідних процесів описаний в джерелі [1]. Виходячи з цього складемо рівняння для моменту \(T_1\): \[ {dU(t) \over dt} + {U(t) \over C(U) \ R} = {U_{max} \over C(U) \ R} \qquad (2.1) \] де: \(U(t)\) — напруга на конденсаторі \(C\) ємність якого залежить від напруги \(C = C(U)\), \(U_{max}\) — напруга на джерелі напруги \(E\). Параметричну залежність ємності від напруги виразимо в такому простому вигляді: \[ C(U) = {C_{max} \over k_0 + k_1 \, {U(t) \over U_{max}}}, \quad U(t) \in [0, U_{max}] \qquad (2.2) \] де: \(C_{max}\) — максимальна ємність при мінімальному напрузі \(U = 0\), а \(U_{max}\) — максимальна напруга при мінімальної ємності, яка дорівнює напрузі на \(E\); в діапазоні \([0, U_{max}]\) наша параметрична ємність і буде працювати. Коефіцієнти \(k_0\) \(k_1\) — визначають характер залежності \(C\) від \(U\).
Аналітичне рішення отриманого в результаті підстановки (2.2) в (2.1) диференціального рівняння досить громіздко, тому скористаємося ще один досягненням цивілізації — математичним редактором, Численное решение дифференциального уравнения в MathCAD який може досить точно знаходити рішення в наочній чисельній формі [2].
Для зручності введемо постійну часу \(\tau = R\,C_{max}\), запишемо рівняння за правилами MathCAD [2], підставимо туди для прикладу \(\tau=0.5, \, k_0=0.2, \, k_1=4, \, U_{max}=1\) і подивимося на результат. Як бачимо, крива зарядки конденсатора сильно відрізняється від класичної, коли ємність — величина постійна. Повну програму розрахунку у MathCAD-е для цього прикладу можна завантажити тут.
Щоб не плутати з \(U(t)\) виберемо для другого моменту часу (\(T_2\)) іншу функцію — \V(t)\) і також складемо рівняння: \[ {dV(t) \over dt} + {V(t) \over C(V) \ R} = 0 \qquad (2.3) \] Численное решение дифференциального уравнения в MathCAD (2) Знову ж таки, для прикладу підставимо в рівняння ті ж дані, подивимося на результат і порівняємо їх. Звертаючи увагу на вісь часу \t\) бачимо, що розряд параметричного конденсатора триває довше, ніж його заряд.
Програмка для MathCAD знаходиться тут.
Енергія заряду-розряду
Знаючи залежності від напруги можна приступити до підрахунку енергій, після чого ми зможемо їх порівняти і зробити висновки про додаткову надбавку. При заряді, енергія джерела живлення \(W_E\) витрачається на нагрівання опору \(W_R\) і на заряд конденсатора \(W_C\). Далі запишемо ці енергії у вигляді окремих формул. Всі вони випливають з класичної електротехніки. \(W_E\) знаходиться, як \( \int E {U_R \over R} \, dt \), де(U_R\) - напруга на \R\) : \[ W_E = {U_{max} \over R} \int_0^{\infty} (U_{max}-U(t)) \, dt \qquad (2.4) \] \(W_R\) виводиться з формули \( \int {U_R^2 \over R} \, dt \) : \[ W_R = {1 \over R} \int_0^{\infty} (U_{max}-U(t))^2 \, dt \qquad (2.5) \] \(W_C\) знаходиться з формули знаходження потенційної енергії \( \int C \ U \, dU \) : \[ W_С = C_{max} \int_0^{U_{max}} {U \over k_0 + k_1\,U} \, dU \qquad (2.6) \] Таким чином, відношення отриманої енергії до витраченої і повинна нам показати — є збільшення енергії в першому такті: \[ {W_R + W_C \over W_E} = K \qquad (2.7) \] Також, ми можемо підрахувати надбавку енергію в повному циклі: заряд-розряд. Для цього потрібно скласти енергію на опорі при розряді конденсатора \(W_{R2}\) з подібною при заряді \(W_R\), і знову порівняти з витраченої: \[ {W_R + W_{R2} \over W_E} = K_2 \qquad (2.8) \] \(W_{R2}\) знаходимо з формули \( \int {V_R^2 \over R} dt \) : \[ W_{R2} = {1 \over R} \int_0^{\infty} V(t)^2 \, dt \qquad (2.9) \]
Тепер запишемо все це в мат. редактор і подивимося на результати. Рекомендуємо переглянути безпосередньо в MathCAD-е, але висновок однозначний: коефіцієнти \K\) \(K_2\) дорівнюють одиниці при будь-яких значеннях \(\tau, k_0, k_1\) (в розумних межах звичайно). Причому, результат не змінюється навіть, якщо замість залежності (2.2) вибрати будь-яку іншу, наприклад, статечну: \[ C(U) = {C_{max} \over \left( k_0 + k_1 \, {U(t) \over U_{max}} + k_2 \, \left({U(t) \over U_{max}}\right)^2 \right)^2} \]
Програмка для MathCAD знаходиться тут.

Таким чином, у ланцюгу першого роду повного циклу, з постійним опором і параметричної ємністю, неможливо отримати надбавку енергії!

 
1 2 3 4 5

Горчилин В'ячеслав, 2016 р.
* Передрук статті можлива за умови встановлення посилання на цей сайт та додержанням авторських прав

« Назад
2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin