2017-07-27
Персональний сайт В'ячеслава Горчіліна
Всі статті
Параметричне зміна індуктивності в RL-ланцюга. Зворотна ЕРС

У цій замітці вперше доводиться теоретична можливість отримання додаткової енергії з зворотної ЕРС в котушці індуктивності з серцевиною. Доказ наводиться на основі класичних формул електротехніки. Згідно класифікації тут буде розглядатися генератор першого роду першого порядку з частковим циклом PCCIE.

В наш час розвелося багато міфів і легенд про невичерпні можливості зворотної ЕРС (ОЭДС) в котушці індуктивності. На думку деяких дослідників, ОЭДС може давати більше енергії, ніж на неї витрачено, причому їхні досліди, в деяких випадках, це підтверджують. Теоретики пояснюють такі надздібності теорією ефіру або ж невикористаної енергією атомів феромагнетиків. Ми ж постараємося зробити висновки на основі математики і теорії електричних ланцюгів [1], яка добре себе зарекомендувала і може повністю відобразити необхідні нам процеси. Таким чином, автор підтверджує свою ідею про те, що исследовтелям зовсім необов'язково йти в нетрі інших теорій та гіпотез, достатньо під іншим кутом поглянути на класику.
Далі ми покажемо, що шкільна або навіть вузівська — непараметрична ОЭДС — не може збільшити ККД другого роду \((K_{\eta2})\), тому відразу обмовимося, що будемо розглядати тільки параметричну котушку, яка змінює свою індуктивність в залежності від напруженості магнітного поля \((H)\) в ній. А оскільки ця напруженість прямо пропорційна струму, то в якості параметра у нас буде виступати саме він. Перерахувати струм назад в \(H\) не представляє особливих труднощів, для цього потрібно знати параметри котушки і сердечника, тобто — параметри конкретного пристрою.
В попередній частині ми показали, що параметричне зміна ємності в повному циклі: заряд-розряд, не дає збільшення \(K_{\eta2}\). Те ж саме можна сказати і про індуктивності: для цього досить замінити напруги на струм і змінити деякі коефіцієнти у наведеному там діфф. рівнянні. Але з котушкою індуктивності, яка буде містити в собі феромагнітний сердечник, ми можемо вчинити інакше.
Типовий графік залежності магнітної проникності сердечника \((\mu)\) від напруженості магнітного поля \(H\) наведено зліва [2]. Але напруженість — пропорційна струму, а проникність — індуктивності, а це значить, що ми можемо побудувати графік \(L(I)\), який буде повністю пропорційний \(\mu(H)\). Таким чином, ми отримуємо параметричну залежність індуктивності котушки \L\) від струму \I\) протікає в ній, і з цією залежністю ми і будемо далі працювати.
В якості прикладу, порівняймо два графіка реально вимірюваної характеристики фериту від рядкового трансформатора: графік 1, графік 2. На другому графіку ордината \(M(I)\) показує наскільки змінюється індуктивність котушки порівняно з початковою, а \(I\) — струм у цій котушці.
Нагадаємо, що в цій замітці ми досліджуємо ОЭДС, тому припустимо, що початковий струм \(I_0\) в котушці вже є, а проходити він буде через електричний ланцюг складається з індуктивності та активного опору. Яким чином там з'явився струм ми обговоримо трохи пізніше, а поки скористаємося класичною формулою для обчислення енергії в котушці на момент замикання ключа SW: \[ W_L = \frac{L_0 I_0^2}{2} \qquad (3.1) \] де(L_0\) — індуктивність котушки в момент замикання ключа SW. Тепер наша задача така: правильно використовувати цю енергію. Для цього необхідно знайти режим, при якому струм в ланцюзі буде виробляти найбільшу роботу на активному навантаженні. Класична формула для пошуку цієї енергії така: \[ W_R = R \int_0^T I(t)^2 dt \qquad (3.2) \] Де(I(t)\) — струм в ланцюзі в залежності від часу, який нам поки невідомий. Для того, щоб його знайти, потрібно скласти диференціальне рівняння перехідного процесу в нашій схемою [1]: \[ {L \over R} I(t)' + I(t) = 0 \qquad (3.3) \] в якому індуктивність \L\) є параметром від струму, а струм, в свою чергу, — від часу. Для рішення рівняння залишилося визначити залежність індуктивності від струму, для якої можна взяти поліном \(M(I)\) з коефіцієнтами \(k_1..k_4\). Його зручність — гнучкість налаштування для різних залежностей: \[ L = L_S\, M(I), \quad M(I) = {1 + k_1 I(t) + k_2 I(t)^2 \over 1 + k_3 I(t) + k_4 I(t)^3} \qquad (3.4) \] де(L_S\) — початкова індуктивність котушки (без струму). \(M(I)\) повинен бути пропорційний залежно \(\mu\) від \(H\) в реальному сердечнику.
Введемо постійну часу ланцюга \(\tau = L_S/R\), з якої запишемо остаточну форму діфф. рівняння: \[ \tau\, M(I)\, I' + I = 0 , \quad I=I(t) \qquad (3.5) \] Аналітичний розв'язок цього рівняння в такій формі утруднене, тому скористаємося математичним редактором MathCAD і отримаємо його в чисельному вигляді. У редаторе ми оцінюємо реальний час роботи кола після замикання ключа, позначаємо його \T\) і робимо це час кінцевим числом.
Навіщо нам час?
Дійсно, якщо ми хочемо отримати залежність приросту ККД від \(\mu\) (див. верхній графік), то навіщо нам використовувати ще одну додаткову змінну — час? Спробуємо це виправити. Перепишемо рівняння (3.6) в іншому вигляді: \[ -\tau\, M(I)\, I' = I, \quad I=I(t) \qquad (3.6) \] і підставимо у формулу (3.2): \[ W_R = R \int_0^T \left[\tau\, M(I)\, I'\right]^2 dt \qquad (3.7) \] Після деяких математичних дій автором був отриманий досить незвичайний інтеграл, в якому енергія розсіювання на опорі вже не залежить від \t\), і навіть від самого опору: \[ W_R = \frac{L_S}{2} \int_0^{I_0^2} M(\sqrt{J})\, dJ , \quad J = I^2 \qquad (3.8) \] Тут потрібно звернути увагу на те, що подинтегральной функції всі \I\) змінюються на \J\) за правилом: \(I=\sqrt{J}\). Для виведення остаточної формули для обчислення енергетичний виграш, розділимо енергію, розсіяну на активному опорі, на початкову енергію в котушці: \[ K_{\eta2} = {W_R \over W_L} \qquad (3.9) \] Враховуючи, що \[ W_L = {L_0\, I_0^2 \over 2} = {L_S\, M(I_0)\, I_0^2 \over 2}, \quad M(I_0)= {1 + k_1 I_0 + k_2 I_0^2 \over 1 + k_3 I_0 + k_4 I_0^3} \qquad (3.10) \] підставляємо раніше отримані результати і отримуємо неймовірно цікаву закономірність, яка не залежить від часової координати: \[ K_{\eta2} = \frac{1}{M(I_0)\, I_0^2} \int_0^{I_0^2} M(\sqrt{J})\, dJ , \quad J = I^2 \qquad (3.11) \] Або, ця ж формула в іншій формі: \[ K_{\eta2} = \frac{2}{M(I_0)\, I_0^2} \int_0^{I_0} M(I) \ I \, dI \qquad (3.12) \] Ну а якщо ми хочемо все те ж саме виразити через магнітну проникність осердя і напруженість магнітного поля — \(\mu(H)\), то у формулі (3.12) потрібно просто замінити відповідні букви: \[ K_{\eta2} = \frac{2}{\mu (H_0)\, H_0^2} \int_0^{H_0} \mu (H) \ H \, dH \qquad (3.13) \]

Формули (3.11-3.13) — і є математичний вираз вільної енергії для зворотної ЕРС в котушці з сердечником! Більш загальний підхід до виведення цієї формули дивіться тут

З нього одразу ж видно, що якщо параметрична залежність відсутня, тобто \(M(I)=M(J)=1\), то і надбавки немає: \(K_{\eta2}=1\). Залишається навчитися користуватися цією формулою і дізнатися, чи може бути \(K_{\eta2}\) більше одиниці.
Що в результаті?
Для прикладу візьмемо \(M(I)\) з формули (3.4) і підставимо його у (3.11) замінюючи \I\) \(J\) за правилом: \(I=\sqrt{J}\). Залежність від часу упраздняем і отримуємо: \[ K_{\eta2} = \frac{1}{M(I_0)\, I_0^2} \int_0^{I_0^2} {1 + k_1 J^{0.5} + k_2 J \over 1 + k_3 ^{0.5} + k_4 ^{1.5}}\, dJ \qquad (3.14) \] Знову ж для прикладу, введемо наступні струм і коефіцієнти: \(I_0=1.4, k_1=10, k_2=0, k_3=0, k_4=5\). Зліва показаний графік залежності індуктивності котушки від струму згідно з цим коефіцієнтам. График зависимости индуктивности катушки от тока в ней Як бачимо, ми працюємо як в наростаючій, так і в спадаючій ділянці кривої намагнічування сердечника, а початкова індуктивність менше максимальної приблизно в 4 рази, що близько до реальних значень проникності феромагнетиків. Вирішуючи інтеграл (3.14) отримаємо \(K_{\eta2}=2.07\) — більше одиниці!
Підставити інші коефіцієнти і отримати свої результати ви можете в редакторі MathCAD завантаживши туди цю програмку або протестувати в калькуляторі. З неї проглядається закономірність, яка підтверджує припущення про те, що спадаюча частина кривої залежності \(\mu\) від \(H\) дає найбільший внесок в енергетичну надбавку. Крім підбору робочого ділянки на графіку, для досягнення позитивного результату необхідно, щоб пристрій забезпечувало вихід котушки на необхідний режим по струму і напруженості магнітного поля.

Обґрунтування виникнення додаткової енергії в подібних пристроях дивіться тут

Що на практиці?
Потрібно розуміти, що отримується за формулами (3.11-3.13) надбавка є граничною величиною. В залежності від матеріалу осердя, при роботі на правому спадаючому ділянці \(M(I)\), можуть виникати різні втрати, в основному — на його нагрівання. Але вони не завжди будуть дорівнюють цій надбавці, а значить описаний тут шлях до сверхединичным пристроїв як і раніше залишається відкритим. З известых матеріалів, хороші показники \(K_{\eta2}\) повинен давати Пермалой, на графіку можна без праці знайти робочий ділянку, ще краще — Метглас [8]. Трохи гірше, в цьому сенсі, справи з феритами Зависимость магнитной проницаемости сердечника от напряженности магнитного поля Багатообіцяюче виглядають деякі сучасні марки стали і певні конструкції сердечника [5], проте не можна забувати, що частина енергії в них може витрачатися на струми Фуко.
Пермалой працює на відносно невеликій частоті і тому пристрої працюють на ньому не можуть розвинути великих потужностей. Ферит може витримувати на порядки більші частоти, але він куди більш крихкий. Тим не менш, в результаті, він може працювати на великих потужностях.
Питання, яке поки що залишається відкритим: як з'являється початковий струм \(I_0\) в нашій котушці і скільки на це витрачається енергії? Для відповіді на нього існують різні підходи. Один з них передбачає, що сердечник потрібно подмагничивать перпендикулярним по відношенню до основного полем [3], причому робити це можна короткими імпульсами, енергія яких у кілька разів менше необхідних за рахунок інерційності феромагнетика. Другий підхід [4-6] передбачає вихід на робочий режим без додаткового перпендикулярного поля. Третій — пропонує механічне порушення сердечника постійним магнітом, завдяки чому з'являється початковий струм у котушці [7].
Враховуючи все вищевикладене нам видається цілком реальним одержання сверединичных пристроїв на основі котушок індуктивності з феромагнітним осердям. Як відомо, якщо математика дала зелене світло, то практична реалізація не змусить себе чекати.
За підсумками цієї роботи був зроблений спеціалізований калькулятор, який дозволяє знайти залежність магнітної проникності будь-якого сердечника — від напруженості магнітного поля, а також — виявити в ньому потенційно досяжну приріст ККД другого роду.
 
1 2 3 4 5

© Горчилин В'ячеслав, 2017 р.
* Передрук статті можлива за умови встановлення посилання на цей сайт та додержанням авторських прав

« Назад
2009-2017 © Vyacheslav Gorchilin