2017-08-23
Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
Всі статті
Вільна енергія в параметричних RC та RL-ланцюгах першого роду першого порядку
У цій роботі ми постараємося привернути увагу шукачів вільної енергії до параметричних кіл. Ця малоизведанная частина радіоелектроніки поки залишається непопулярною і навіть закритою темою. А між тим, при певних умовах, такі ланцюги можуть відкрити нові можливості для пошуку нових джерел енергії та збільшення ККД другого роду.
Тут ми будемо розглядати ланцюга першого порядку, тобто включають в себе RC або RL елементи. Відмінністю від класичного підходу буде те, що ємність або індуктивність будуть вести себе нелінійно, а точніше — параметрично залежати від струму або напруги. Мета цієї замітки: за допомогою класичної фізики і математики знайти умови, при яких такі ланцюги можуть давати енергетичний виграш, а також вивести формули для підрахунку вільної енергії в таких ланцюгах (вперше!).
Для цього на початку визначимося з термінологією; вона полегшить подальше сприйняття інформації і скоротить текст. Згідно класифікації тут будуть розглядатися генератори першого роду і першого порядку. У частковому циклі (PCC) енергія в реактивних елементах може бути присутнім, як на початку, так і наприкінці вимірювань, тому введемо ще два підрозділи часткового циклу: PCCIE і PCCFE відповідно. PCCIE відрізняється ще тим, що до моменту початку роботи цього циклу, джерело живлення відключається, тобто \(U(t)=0\).
RC или RL-цепочка с параметрическим реактивным сопротивлением
Для спрощення формул і міркувань приймемо значення опору \R\) рівним одиниці. Оскільки це константа, то зробити її відмінною від цього значення ми зможемо в будь-який момент. Тоді загальне диференціальне рівняння для ланцюгів першого порядку буде таким [1]: \[Z(Y)\,\dot Y_t + Y = U(t), \quad Y=Y(t) \qquad (4.1)\] де: \(Z(Y)\) — реактивне опір параметрично залежить від \(Y\). Саме опір може бути ємність або індуктивність у залежності від виду ланцюга — RC або RL відповідно. \(Y\) може виступати напругою, якщо це RC-ланцюг і струмом, якщо це RL-ланцюг. Також, нам необхідно пригадати, як математично перетворити струм напруга (і навпаки) в реактивних елементах: \[\Phi(t) = Z(Y)\,\dot Y_t \qquad (4.2)\] де \(\Phi\) — це струм в RC-ланцюга або напруга в RL-ланцюга. Тепер підставляючи (4.2) в (4.1) отримаємо характеристичне рівняння: \[\Phi(t) + Y = U(t) \qquad (4.3)\]
Для RC-ланцюга
Домножим кожен його член на \(\Phi\) і проинтегрируем обидві частини: \[\int_0^T \Phi(t)^2\, dt + \int_0^T Y\,\Phi(t)\, dt = \int_0^T U(t)\,\Phi(t)\, dt \qquad (4.4)\] Введемо назву для кожного з членів цього рівняння: \[W_R + W_F = W_E \qquad (4.5)\] Якщо дивитися на рівняння зліва направо, то його члени представляють собою: активну енергію розсіювання на опорі \R\), потенційну — на реактивному елементі, а праворуч від знака рівності розташовується енергія, яку витрачає джерело харчування на весь процес.
Давайте окремо розглянемо \(W_F\). Це дуже важливий елемент повністю визначає вільну енергію в такій системі. Зробимо туди підстановку з формули (4.2) \[W_F = \int_0^T Y\,\Phi(t)\, dt = \int_0^T Z(Y)\Y\,\dot Y_t\, dt \qquad (4.6)\] і після деяких перетворень знайдемо його загальний вигляд: \[W_F = \int_{Y(0)}^{Y(T)} Z(Y)\Y\, dY \qquad (4.7)\] Зверніть увагу на цю формулу при певних умовах вона в собі містить потенційно досяжну вільну енергію в параметричних реактивностях. Одна з цікавих її особливостей — формула не залежить від часової координати \t\). Трохи пізніше ми до неї повернемося, а поки покажемо, що для RL-ланцюга доказ виводиться аналогічно.
Для RL-ланцюга
Поміняємо місцями перший і другий члени характеристичного рівняння (4.3), домножим кожен член на \(Y\), після чого проинтегрируем обидві частини: \[\int_0^T Y^2\, dt + \int_0^T Y\,\Phi(t)\, dt = \int_0^T U(t)\Y\, dt \qquad (4.8)\] Як і у випадку з RC-ланцюгом тут ми бачимо все ті ж складові: \[W_R + W_F = W_E\] а потенційна енергія реактивного елемента \(W_F\) знаходиться точно так само (див формулу 4.7).
Доказ для FCC
Якщо зрозумілий попередній матеріал, то доказ для FCC виводиться дуже просто: для цього достатньо оцінити енергію \(W_F\). З визначення відомо, що на початку і в кінці повного циклу енергія в реактивному елементі відсутня, а це означає, що межі інтегрування \(Y(0)\) \(Y(T)\) в (4.7) дорівнюють нулю. Отже, \(W_F\) також дорівнює нулю, а інші два члени рівняння (4.5) рівні між собою: \[W_R = W_E \qquad (4.9)\]

У ланцюгах першого порядку, в повному циклі, неможливо отримати надбавку енергії навіть, якщо реактивний елемент — параметричний. Це не залежить ні від характеру параметричної залежності, ні від обраного інтервалу за часом.

Інтуїтивно це зрозуміло: навіть якщо додаткова енергія з'являється в наростаючому циклі, то вона компенсується на спадающем, або навпаки. Приватний випадок FCC з ємнісний ланцюгом розглядається більш докладно тут.
Прирощення енергії в PCCIE
Оскільки у випадку з PCCIE харчування відсутня і \(U(t)=0\), то в рівнянні (4.5) енергія \(W_E\) буде дорівнює нулю і \[W_R = -W_F \qquad (4.10)\] а накопичена до початку цього циклу енергія в реактивному елементі буде виражатися, очевидно, так: \[W_0 = \frac{Z_0\, Y_0^2}{2} \qquad (4.11)\] де(Z_0\) і \(Y_0\) — значення ємності-индуктвности і напруги-струму в початковий момент циклу. Таким чином, коефіцієнт прирощення енергії буде знаходитися, як ставлення \(W_R\) — енергії розсіювання на опорі, до \(W_0\) — початкової енергії: \[K_{\eta 2} = \frac{W_R}{W_0} = -\frac{W_F}{W_0} \qquad (4.12)\] Повертаючись до формули (4.7) потрібно для початку визначити межі інтегрування. \(Y(0)\) — це і буде \(Y_0\), а \(Y(T)\), за визначенням PCCIE, дорівнює нулю. Підставляючи отримані дані, отримуємо остаточну формулу для вільної енергії в PCCIE: \[K_{\eta 2} = { 2 \over Z_0\, Y_0^2} \int_{0}^{Y_0} Z(Y)\Y\, dY \qquad (4.13)\] З формули відразу ж видно, що якщо параметрична залежність відсутня і \(Z(Y)=Z_0\), то ніякого збільшення енергії немає і \(K_{\eta 2}=1\).
Вище було розглянуто загальний підхід до задачі. Для окремого випадку PCCIE з індуктивною ланцюгом читайте окрему роботу з обчисленнями і спеціалізованим калькулятором.
Умови для PCCFE
З визначення PCCFE випливає, що рівняння (4.5) залишається в колишньому вигляді, а от нижня границя інтеграла (4.7) стане дорівнює нулю — \(Z(0)=0\). Перепишемо це рівняння так: \[W_R = W_E - W_F \qquad (4.14)\] Очевидно, що для отримання енергетичного виграшу енергія, виділена на опорі повинна бути більше витраченої джерелом харчування, а це означає, що доданок \(W_F\) має бути менше нуля: \[W_F \lt 0 \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{Y(T)} Z(Y)\Y\, dY \lt 0 \qquad (4.15)\] Така постановка питання може здатися досить складною для відображення в реальному світі. Але насправді фізичний сенс всього цього — можлива постійна складова, яка виникає в змінних полях. Наприклад, якщо поле високовольтне та високочастотне, то постійна складова може проявитися у вигляді електростатики осідаючого на оточуючих пристрій предметах.
Зміст негативної \(W_F\) з точки зору радіоелектроніки — наявність обов'язкового ділянки ВАХ з негативним диференціальним опором. Також можна запропонувати екзотичний варіант, коли зсув між напругою і струмом досягає 180 градусів (при зростанні напруги на котушці індуктивності, струм через неї зменшується).
Математичний сенс полягає в знаходженні оптимальної кривої або ж — коефіцієнтів при ступеневій ряді, приклад якого ми далі й розглянемо. Нехай параметрична залежність описується степеневим рядом з трьох членів: \[Z(Y) = 1 + k_1 |Y| + k_2 Y^2 \qquad (4.16)\] Такий ряд, наприклад, може описувати зміна проникності фериту в залежності від напруженості магнітного поля (графік). Візьмемо від нього інтеграл та порівняємо з нулем за формулою (4.15): \[\frac12 Y_T^2 + \frac{k_1}{3}Y_T^2 |Y_T| + \frac{k_2}{4}Y_T^4 \lt 0, \quad Y_T=Y(T) \qquad (4.17)\] Таким чином, задача пошуку умов прояву вільної енергії для PCCFE, в такий параметричної залежності, зводиться до знаходження коефіцієнтів діапазону у нерівності, при відомому \(Y_T\), або ж навпаки — пошук оптимального \(Y_T\) при відомих коефіцієнтах: \[1 + \frac{2\,k_1}{3}|Y_T| + \frac{k_2}{2}Y_T^2 \lt 0 \qquad (4.18)\] Більш детально цей приклад розбирається тут.
Як знайти зміна ККД в цьому випадку? Досить порівняти енергію розсіювання на опорі з витраченої джерелом живлення: \[K_{\eta 2} = {W_R \over W_E} = {W_E - W_F \over W_E} = 1 - {W_F \over W_E} \qquad (4.19)\] Звідси одразу видно, що якщо буде дотримана умова (4.15), то \(K_{\eta 2}\) буде більше одиниці. Більш повна формула для ККД при PCCFE буде такою: \[K_{\eta 2} = 1 - {1 \over W_E} \int_{0}^{Y(T)} Z(Y)\Y\, dY \qquad (4.20)\]
Висновки
У цій роботі ми довели, що неможливо отримати надбавку енергії в параметричних ланцюгах першого порядку в повному циклі (FCC), оскільки енергія, що розсіюється на опорі завжди буде дорівнює енергії, що витрачається джерелом живлення — формула (4.9). Але якщо цикл буде неповний, то отримання надбавки стає цілком досяжною завданням. Якщо реактивний елемент містить у собі потенційну енергію на початку циклу (PCCIE), то надбавку можна знайти за формулою (4.13). Якщо ж у реактивному елементі енергія залишається на момент закінчення циклу, то умови для отримання прибавки ми можемо знайти за формулою (4.15), а приріст ККД — (4.20).
Потрібно розуміти, що в цій замітці математично строго доведені потенційно досяжні значення прирощення енергії, частина якої, в реальних реактивностях, може витрачатися неефективно, наприклад, на нагрів. Тим не менш, на підставі докази про збільшенні енергії в часткових циклах, можна отримати приватні випадки для інженерних розрахунків, які, в свою чергу, дозволять будувати реальні пристрої з високим ККД.
 
1 2 3 4 5

© Горчилин В'ячеслав, 2017 р.
* Передрук статті можлива за умови встановлення посилання на цей сайт та додержанням авторських прав

« Назад
2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin