2017-08-28
Персональный сайт Вячеслава Горчилина
Все статьи
Приложение к доказательству о параметрических RLC-цепях первого рода
В этом приложении мы научимся пользоваться формулами из доказательств о свободной энергии в параметрических цепях первого и второго порядка, и применим этот анализ к некоторым реальным радиокомпонентам, в плане их пригодности для схем с повышенным КПД.
Параметрическая индуктивность в PCCIE
Для начала, рассмотрим простой степенной ряд в свете формулы (4.13) для частичного цикла PCCIE. Этот ряд может характеризовать, например, параметрическую зависимость индуктивности катушки с сердечником от тока, проходящего через неё. \[L = L_S\,(1 + k_1\,I + k_2\,I^2 + k_3\,I^3 + \ldots) \qquad (1)\] где: \(L_S\) — начальная индуктивность, которая определяется начальной проницаемостью сердечника. Здесь и далее считаем, что ток в формуле имеет всегда положительные значения, т.е. \(I=|I|\). Для формулы (4.13) потребуется также значение индуктивности в начальный момент цикла: \[L_0 = L_S\,(1 + k_1\,I_0 + k_2\,I_0^2 + k_3\,I_0^3 + \ldots) \qquad (2)\] Начальный ток при этом, считаем известным — \(I_0\). Он там может появиться, например, в результате накачивания катушки энергией, мы же далее будем считать эффект от обратной ЭДС, которая возникнет при обрыве цепи. Для этого подставим в формулу (4.13) ряды (1) и (2): \[K_{\eta 2} = {2 \over I_0^2\,L_S\,(1 + k_1\,I_0 + k_2\,I_0^2 + k_3\,I_0^3 + \ldots)} \int_0^{I_0} L_S\,(1 + k_1\,I + k_2\,I^2 + k_3\,I^3 + \ldots) I\, dI \qquad (3)\] Как видим, \(L_S\) сокращается, и это является очень важным моментом — от начальной индуктивности или проницаемости сердечника прирост энергии не зависит! Берём далее интеграл, сокращаем \(I_0^2\) и получаем красивую формулу: \[K_{\eta 2} = { 1 + \frac23 k_1\,I_0 + \frac24 k_2\,I_0^2 + \frac25 k_3\,I_0^3 + \ldots \over 1 + k_1\,I_0 + k_2\,I_0^2 + k_3\,I_0^3 + \ldots } \qquad (4)\] Из неё сразу же видно, что если все коэффициенты \(k_1..k_n\) будут положительные, то прироста энергии не будет и \(K_{\eta 2} \lt 1\). Это означает, что для достижения прироста КПД более единицы, на графике зависимости индуктивности от тока обязательно должен быть ниспадающий участок (пример графика реальной катушки с прямоугольным сердечником), а один или несколько коэффициентов — отрицательные.
Параметрическая индуктивность в PCCFE
В этом случае, без знания особенностей схемы и зависимости \(U(t)\) источника питания, прирост КПД мы подсчитать не можем, но для нас доступен поиск условий для \(K_{\eta 2} \gt 1\) из формулы (4.15). Предположим, что наша катушка описывается параметрической зависимостью её индуктивности от тока следующим рядом: \[L = L_S\,(1 + k_1\, |I| + k_2\,I^2) \qquad (5)\] Для рядов с бо́льшим значением степени выкладки либо будут очень громоздки, либо в принципе аналитически не выводимы. Но для примера достаточно будет и второй степени.
По условию (4.15) интеграл должен быть меньше нуля, т.е. \[L_S \int_{0}^{I(T)} (1 + k_1\, |I| + k_2\,I^2) I\, dI \lt 0 \qquad (6)\] откуда \[\frac12 I_T^2 + \frac{k_1}{3}I_T^2 |I_T| + \frac{k_2}{4}I_T^4 \lt 0, \quad I_T=I(T) \qquad (7)\] или \[I_T^2 + \frac43 \frac{k_1}{k_2} |I_T| + \frac{2}{k_2} \lt 0 \qquad (8)\] Найдём корни этого квадратного уравнения: \[I_{1,2} = -b \pm \sqrt{b^2 - \frac{2}{k_2}}, \quad b = \frac23 \frac{k_1}{k_2} \qquad (9)\] Если рассматривать реальные графики зависимостей индуктивности от тока (пример), то можно сразу сказать, что там могут быть только такие коэффициенты: \(k_1 \gt 0, k_2 \lt 0\). А поскольку в уравнении ток берётся по модулю, то из всего этого следует, что нам подходит только один корень: \[I_{1} = -b + \sqrt{b^2 - \frac{2}{k_2}} \qquad (10)\] Таким образом: \[|I_T| - I_1 \lt 0 \qquad (11)\] из чего получаем окончательное соотношение: \[|I_T| \lt \sqrt{b^2 - \frac{2}{k_2}} - b, \quad b = \frac23 \frac{k_1}{k_2}, \quad k_1 \gt 0, \quad k_2 \lt 0 \qquad (12)\] Зная коэффициенты и подбирая рабочую точку (ток \(I_T\)) для реального устройства, можно понять, в каком диапазоне оно потенциально может давать прибавку энергии.
Варикап. PCCIE
Рассмотрим варикап в параметрической RC-цепи первого порядка, как потенциальную возможность получить с её помощью энергетическую прибавку. Известно, что зависимость ёмкости варикапа от приложенного обратного напряжения выражается так: Типичная характеристика КВ109А \[C = {C_S \over 1 + k\,U_C}, \quad U_C \gt 0 \qquad (13)\] где: \(C_S\) — максимальная его ёмкость (без приложенного напряжения), \(U_C\) — приложенное напряжение, \(k\) — коэффициент, который можно найти из тех. характеристик варикапа. Например, типичная характеристика для КВ109А будет такой: \[C = {27 \over 1 + 0.5\,U_C} \qquad (14)\] Для цепи PCCIE по формуле (4.13) найдём потенциально возможную прибавку: \[K_{\eta 2} = {2\,(1 + k\,U_0) \over C_S\,U_0^2} \int_0^{U_0} {C_S \over 1 + k\,U} U\, dU \qquad (15)\] полагая, что под \(U\) подразумевается напряжение на варикапе: \(U=U_C\). Взяв интеграл получим: \[K_{\eta 2} = 2 {1 + k\,U_0 \over k\,U_0} \left( 1 - {\ln(1 + k\,U_0) \over k\,U_0} \right) \qquad (16)\] Для того же КВ109А, при максимальном обратном напряжении в 20В, \(K_{\eta 2}\) будет равно \(1.7\). Можно показать, что при любых параметрах варикапа, его коэффициент приращения энергии не будет превышать 2-х. И это всё при условии, что цикл повышения напряжения на варикапе будет произведён малозатратным способом. Если этот цикл будет такой же, как на понижение, то согласно доказательству (4.9) \(K_{\eta 2}=1\).
Варикап. PCCFE
Согласно (4.15) для \(K_{\eta 2} \gt 1\) необходимо выполнение условия: \[ \int_0^{U_T} {C_S \over 1 + k\,U} U\, dU \lt 0 \qquad (17)\] Взяв интеграл видим, что должно быть выполнено следующее неравенство: \[1 - {\ln(1 + k\,U_T) \over k\,U_T} \lt 0 \qquad (18)\] Но левая часть неравенства всегда будет либо равна, либо больше нуля, а значит выполнение условия (17) невозможно, следовательно варикап, несмотря на наличие у него ниспадающего участка на графике, не подходит для частичного цикла PCCFE.
Вариконд
Характеристики некоторых варикондов
Характеристики варикондов схожи с графиками ферромагнитных материалов, только вместо индуктивности здесь ёмкость, а вместо тока — напряжение. Таким образом, все выкладки для параметрической индуктивности (см. выше) полностью совпадают и для варикондов. Для них также можно найти потенциально возможный прирост КПД по уравнению (4) и рабочую точку при известных коэффициентах из неравенства (12). Только во всех этих формулах ток нужно заменить на напряжение.
Интересно, что спадающий участок на графике варикондов короче, чем у ферромагнетиков, что в теории даёт меньший прирост КПД, но зато вариконды меньше тратят прибавочную энергию на нагрев, что в результате может дать им большое преимущество. Во всяком случае, по сравнению с варикапом они выглядят куда более многообещающе, как по приросту КПД, так и по мощности.

© Горчилин Вячеслав, 2017 г.
* Перепечатка статьи возможна с условием установки ссылки на этот сайт и соблюдением авторских прав

« Назад
2009-2017 © Vyacheslav Gorchilin