2017-08-28
Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
Всі статті
Додаток до доказу про параметричних RLC-колах першого роду
У цьому додатку ми навчимося користуватися формулами з доказів про вільної енергії в параметричних ланцюгах першого і другого порядку, і застосуємо цей аналіз до деяких реальним радиокомпонентам, в плані їх придатності для схем з підвищеним ККД.
Параметрична індуктивність в PCCIE
Для початку, розглянемо простий степеневий ряд в світлі формули (4.13) для часткового циклу PCCIE. Цей ряд може характеризувати, наприклад, параметричну залежність індуктивності котушки з сердечником від струму, що проходить через неї. \[L = L_S\,(1 + k_1\,I + k_2\,I^2 + k_3\,I^3 + \ldots) \qquad (1)\] де: \(L_S\) — початкова індуктивність, яка визначається початкової проникністю сердечника. Тут і далі вважаємо, що струм у формулі завжди має позитивні значення, тобто \(I=|I|\). Для формули (4.13) потрібно також значення індуктивності в початковий момент циклу: \[L_0 = L_S\,(1 + k_1\,I_0 + k_2\,I_0^2 + k_3\,I_0^3 + \ldots) \qquad (2)\] Початковий струм при цьому, вважаємо відомим — \(I_0\). Він там може з'явитися, наприклад, в результаті накачування котушки енергією, ми ж надалі будемо вважати ефект від зворотної ЕРС, яка виникне при обриві ланцюга. Для цього підставимо в формулу (4.13) ряди (1) і (2): \[K_{\eta 2} = {2 \over I_0^2\,L_S\,(1 + k_1\,I_0 + k_2\,I_0^2 + k_3\,I_0^3 + \ldots)} \int_0^{I_0} L_S\,(1 + k_1\,I + k_2\,I^2 + k_3\,I^3 + \ldots) I\, dI \qquad (3)\] Як бачимо, \(L_S\) скорочується, і це є дуже важливим моментом — від початкової індуктивності або проникності сердечника приріст енергії не залежить! Беремо далі інтеграл, скорочуємо \(I_0^2\) і отримуємо красиву формулу: \[K_{\eta 2} = { 1 + \frac23 k_1\,I_0 + \frac24 k_2\,I_0^2 + \frac25 k_3\,I_0^3 + \ldots \over 1 + k_1\,I_0 + k_2\,I_0^2 + k_3\,I_0^3 + \ldots } \qquad (4)\] З неї відразу ж видно, якщо всі коефіцієнти \(k_1..k_n\) будуть позитивні, то приросту енергії не буде і \(K_{\eta 2} \lt 1\). Це означає, що для досягнення приросту ККД більше одиниці, на графіку залежності індуктивності від струму обов'язково повинен бути спадаючий ділянку (приклад графіка реальної котушки з прямокутним серцевиною), а один або кілька коефіцієнтів — негативні.
Параметрична індуктивність в PCCFE
В цьому випадку, без знання особливостей схеми і залежно \(U(t)\) джерела живлення, приріст ККД ми не можемо підрахувати, але для нас доступний пошук умов для \(K_{\eta 2} \gt 1\) з формули (4.15). Припустимо, що наша котушка описується параметричної залежністю її індуктивності від струму наступним рядом: \[L = L_S\,(1 + k_1\, |I| + k_2\,I^2) \qquad (5)\] Для рядів з великим значенням ступеня викладення або будуть дуже громіздкі, або в принципі аналітично не выводимы. Але для прикладу достатньо буде і другого ступеня.
За умовою (4.15) інтеграл повинен бути менше нуля, тобто \[L_S \int_{0}^{I(T)} (1 + k_1\, |I| + k_2\,I^2) I\, dI \lt 0 \qquad (6)\] звідки \[\frac12 I_T^2 + \frac{k_1}{3}I_T^2 |I_T| + \frac{k_2}{4}I_T^4 \lt 0, \quad I_T=I(T) \qquad (7)\] або[I_T^2 + \frac43 \frac{k_1}{k_2} |I_T| + \frac{2}{k_2} \lt 0 \qquad (8)\] Знайдемо корені цього квадратного рівняння: \[I_{1,2} = -b \pm \sqrt{b^2 - \frac{2}{k_2}}, \quad b = \frac23 \frac{k_1}{k_2} \qquad (9)\] Якщо розглядати реальні графіки залежностей індуктивності від струму (приклад), то можна відразу сказати, що там можуть бути тільки такі коефіцієнти: \(k_1 \gt 0, k_2 \lt 0\). А оскільки в рівнянні струм береться за модулем, то з усього цього випливає, що нам підходить тільки один корінь: \[I_{1} = -b + \sqrt{b^2 - \frac{2}{k_2}} \qquad (10)\] Таким чином: \[|I_T| - I_1 \lt 0 \qquad (11)\] з чого отримуємо остаточне співвідношення: \[|I_T| \lt \sqrt{b^2 - \frac{2}{k_2}} - b, \quad b = \frac23 \frac{k_1}{k_2}, \quad k_1 \gt 0, \quad k_2 \lt 0 \qquad (12)\] Знаючи коефіцієнти і підбираючи робочу точку (струм \(I_T\)) для реального пристрою, можна зрозуміти, в якому діапазоні воно потенційно може давати надбавку енергії.
Варикап. PCCIE
Розглянемо варикап в параметричній RC-ланцюга першого порядку, як потенційну можливість отримати з її допомогою енергетичну надбавку. Відомо, що залежність ємності варикапа від прикладеної зворотної напруги виражається так: Типичная характеристика КВ109А \[C = {C_S \over 1 + k\,U_C}, \quad U_C \gt 0 \qquad (13)\] де: \(C_S\) — максимальна ємність (без прикладеної напруги), \(U_C\) — прикладена напруга, \k\) — коефіцієнт, який можна знайти з тех. характеристик варикапа. Наприклад, типова характеристика для КВ109А буде такою: \[C = {27 \over 1 + 0.5\,U_C} \qquad (14)\] Для ланцюга PCCIE за формулою (4.13) знайдемо потенційно можливе збільшення: \[K_{\eta 2} = {2\,(1 + k\,U_0) \over C_S\,U_0^2} \int_0^{U_0} {C_S \over 1 + k\,U} U\, dU \qquad (15)\] вважаючи, що під \(U\) мається на увазі напруга на варикапе: \(U=U_C\). Взявши інтеграл отримаємо: \[K_{\eta 2} = 2 {1 + k\,U_0 \over k\,U_0} \left( 1 - {\ln(1 + k\,U_0) \over k\,U_0} \right) \qquad (16)\] Для того ж КВ109А, при максимальному зворотному напрузі в 20В, \(K_{\eta 2}\) буде дорівнює \(1.7\). Можна показати, що при будь-яких параметри варикапа, його коефіцієнт прирощення енергії не буде перевищувати 2-х. І це все за умови, що цикл підвищення напруги на варикапе буде проведений малозатратним способом. Якщо цей цикл буде такою ж, як на зниження, то згідно доказу (4.9) \(K_{\eta 2}=1\).
Варикап. PCCFE
Згідно (4.15) \(K_{\eta 2} \gt 1\) необхідно виконання умови: \[ \int_0^{U_T} {C_S \over 1 + k\,U} U\, dU \lt 0 \qquad (17)\] Взявши інтеграл бачимо, що повинно бути виконано наступне нерівність: \[1 - {\ln(1 + k\,U_T) \over k\,U_T} \lt 0 \qquad (18)\] Але ліва частина нерівності завжди буде або дорівнює, або більше нуля, а отже виконання умови (17) неможливо, отже варикап, незважаючи на наявність у нього спадаючого ділянки на графіку, не підходить для часткового циклу PCCFE.
Вариконд
Характеристики некоторых варикондов
Характеристики варикондов схожі з графіками феромагнітних матеріалів, тільки замість індуктивності тут ємність, а замість струму — напруга. Таким чином, всі розрахунки для параметричної індуктивності (див. вище) повністю збігаються і для варикондов. Для них також можна знайти потенційно можливий приріст ККД за рівнянням (4) і робочу точку при відомих коефіцієнтах з нерівності (12). Тільки у всіх цих формулах струм потрібно замінити на напругу.
Цікаво, що спадаючий ділянку на графіку варикондов коротше, ніж у феромагнетиків, що в теорії дає менший приріст ККД, але зате вариконды менше витрачає додаткову енергію на нагрівання, що в результаті може дати їм велику перевагу. У всякому разі, порівняно з варикапом вони виглядають куди більш вражаюче, як за приростом ККД, так і по потужності.

© Горчилин В'ячеслав, 2017 р.
* Передрук статті можлива за умови встановлення посилання на цей сайт та додержанням авторських прав

« Назад
2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin