2017-08-27
Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
Всі статті
Вільна енергія в параметричних RLC-колах першого роду другого порядку
В цій роботі ми розглянемо електричну ланцюг, що містить нелінійні реактивні елементи: конденсатор і індуктивність. Їх нелінійність визначається параметричної залежністю: ємності — від напруги на ній, а індуктивності — від струму, поточного через неї. Активний опір тут постійне, але навіть якщо б його значення змінювалося, наприклад, від часу, на доказ це не вплинуло б. Згідно класифікації тут будуть розглядатися генератори першого роду і другого порядку. В реальних пристроях параметрична залежність може бути тільки в одного елемента: ємності або індуктивності, але тут ми покажемо загальний випадок, і доведемо, що ці елементи будуть незалежно один від одного впливати на зміни ККД другого роду.
Приводиться тут доказ є більш загальним по порівнянні з аналогічним для ланцюгів першого порядку. А ми його будемо розглядати для послідовного RLC-ланцюга; для паралельної — це доказ виводиться точно так само. RLC-цепочка с параметрическими реактивными сопротивлениями
За законом Кірхгофа, сума напруг на кожному елементі послідовної ланцюга буде дорівнює напрузі джерела живлення \(U(t)\): \[U_C + U_L + U_R = U(t) \qquad (5.1)\] Для доказу нам також знадобляться такі відомі формули, пересчитывающие струм і напруга між собою через активне і реактивне опору: \[U_R = R\,I, \quad U_L = L(I)\,\dot I_t \qquad (5.2)\] Підставляючи (5.2) в (5.1) отримуємо характеристичне рівняння \[U_C + L(I)\,\dot I_t + R\,I = U(t) \qquad (5.3)\] домножая всі члени якого на струм \I\) отримаємо: \[U_C\, I + L(I)\ I\,\dot I_t + R\,I^2 = U(t)\ I \qquad (5.4)\] Згадуючи, що струм в конденсаторі можна знайти через похідну від напруги \(I = C(U_C)\,\dot U_{Ct}\), отримуємо рівняння миттєвих потужностей в ланцюзі: \[C(U_C)\,U_C\,\dot U_{Ct} + L(I)\ I\,\dot I_t + R\,I^2 = U(t)\I \qquad (5.5)\] інтегруючи яке ми отримаємо необхідне для доведення рівняння балансу енергій: \[\int_{U_C(0)}^{U_C(T)} C(U_C)\,U_C\, dU_C + \int_{I(0)}^{I(T)} L(I)\I\ dI + R \int_{0}^{T} I^2\, dt = \int_{0}^{T} U(t)\I\, dt \qquad (5.6)\] Зверніть увагу на перші два доданки при певних умовах це і є вирази для вільної енергії в параметричній ланцюга. Цікавим властивістю цих двох інтегралів є їх повна незалежність від тимчасової координати \t\). Незважаючи на гадану складність рівняння (5.6) можна помітити, що воно складається з простої суми кінетичних і потенціальних енергій: \[W_{FC} + W_{FL} + W_R = W_E \qquad (5.7)\] При цьому, \(W_E\) — енергія витрачається джерелом живлення є відомою величиною, \(W_R\) — енергія розсіювання на активному опорі, яка нам поки невідома, а \(W_{FC}\), \(W_{FL}\) — потенційні енергії в ємності й індуктивності, які ми можемо знайти через інтеграли в (5.6).
Доказ для повного циклу (FCC)
Нагадаємо, що в цьому випадку в реактивних елементах енергія відсутній на початку і в кінці циклу. Тому межі у інтегралів \(W_{FC}\), \(W_{FL}\) будуть однакові, отже: \[W_{FC} = 0, \quad W_{FL} = 0 \quad \Rightarrow \quad W_R = W_E \qquad (5.8)\]

У ланцюгах другого порядку, в повному циклі, неможливо отримати надбавку енергії навіть, якщо реактивні елементи — параметричні. Це не залежить ні від характеру параметричної залежності, ні від обраного інтервалу за часом.

Прирощення енергії в PCCIE
Частковий цикл відрізняється від FCC наявністю енергії в реактивних елементах або на його початку (PCCIE), або в кінці (PCCFE). Ще однією особливістю PCCIE є відсутність зовнішнього джерела живлення, а початкова енергія береться з ємності або індуктивності, які накопичували її до моменту початку досліджуваного циклу. Таким чином, рівняння (5.7) в цьому випадку виглядає так: \[ W_R = - W_{FC} - W_{FL} \qquad (5.9)\] а накопичена до початку цього циклу енергія в реактивному елементі буде виражатися, очевидно, так: \[W_0 = \frac{C_0\, U_{C0}^2}{2} + \frac{L_0\, I_0^2}{2} \qquad (5.10)\] де(C_0, L_0, U_{C0}, I_0\) — параметри ланцюга на момент початку циклу. Отже, коефіцієнт прирощення енергії буде знаходитися, як відношення енергії, рассеяной на опорі, до початкової енергії \(W_0\): \[K_{\eta 2} = \frac{W_R}{W_0} = -\frac{W_{FC} + W_{FL}}{W_0} \qquad (5.11)\] Верхні межі інтегрування для двох перших інтегралів в (5.6), очевидно, будуть дорівнюють нулю, а нижні — позначимо так: \(U_C(0)=U_{C0}\) \(I(0)=I_0\). Тоді, міняючи місцями верхню і нижню межі, знайдемо приріст енергії в PCCIE: \[K_{\eta 2} = 2 { \int_\limits{0}^{U_{C0}} C(U_C)\,U_C\, dU_C + \int_\limits{0}^{I_0} L(I)\I\ dI \over C_0\, U_{C0}^2 + L_0\, I_0^2} \qquad (5.12)\] З рівняння відразу ж видно, що якщо ємність і індуктивність непараметричні, то прирощення енергії немає і \(K_{\eta 2} = 1\).
Умови для PCCFE
З визначення PCCFE випливає, що рівняння (5.7) залишається в колишньому вигляді, а ось нижні межі двох перших інтегралів (5.6) дорівнюють нулю. Перепишемо це рівняння так: \[W_R = W_E - W_{FC} - W_{FL} \qquad (5.13)\] Очевидно, що для отримання енергетичного виграшу енергія, виділена на опорі повинна бути більше витраченої джерелом харчування, а це означає, що сума доданків \(W_{FC}, W_{FL}\) повинна бути менше нуля: \[W_{FC} + W_{FL} \lt 0 \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{U_C(T)} C(U_C)\,U_C\, dU_C + \int_{0}^{I(T)} L(I)\I\ dI \lt 0 \qquad (5.14)\] Можливий фізичний і математичний зміст цієї нерівності описаний тут, а як знайти приріст ККД, ми покажемо далі. Для цього порівняємо енергію розсіювання на активному опорі з витраченої джерелом живлення: \[K_{\eta 2} = {W_R \over W_E} = {W_E - W_{FC} - W_{FL} \over W_E} = 1 - {W_{FC} + W_{FL} \over W_E} \qquad (5.15)\] Звідси одразу видно, що якщо буде дотримана умова (5.14), то \(K_{\eta 2}\) буде більше одиниці. Більш повна формула для ККД при PCCFE буде такою: \[K_{\eta 2} = 1 - {1 \over W_E} \left( \int_{0}^{U_C(T)} C(U_C)\,U_C\, dU_C + \int_{0}^{I(T)} L(I)\I\ dI \right) \qquad (5.16)\]
Висновки
Висновки по ланцюгах другого порядку аналогічні тим, які робилися по ланцюгах першого порядку. Тим не менш, повторимо їх.
У цій роботі ми довели, що неможливо отримати надбавку енергії в параметричних ланцюгах другого порядку в повному циклі (FCC), оскільки енергія, що розсіюється на опорі завжди буде дорівнює енергії, що витрачається джерелом живлення — формула (5.8). Але якщо цикл неповний, то отримання надбавки стає цілком досяжною завданням. Якщо реактивні елементи містять у собі потенційну енергію на початку циклу (PCCIE), то надбавку можна знайти за формулою (5.12). Якщо ж енергія в реактивних елементах залишається на момент закінчення циклу, то умови для отримання прибавки ми можемо знайти за формулою (5.14), а приріст ККД — з (5.16).
Потрібно розуміти, що тут математично строго доведені потенційно досяжні значення прирощення енергії, частина якої, в реальних реактивностях, може витрачатися неефективно, наприклад, на нагрів. Тим не менш, на підставі докази про збільшенні енергії в часткових циклах, можна отримати приватні випадки для інженерних розрахунків, які, в свою чергу, дозволять будувати реальні пристрої з високим ККД.
Додаткові матеріали і деякі окремі випадки з прикладами з реальних радіокомпонентів ви можете подивитися тут.
Перейти в наступний розділ, де розповідається про параметричних ланцюгах другого роду можна тут.
 
1 2 3 4 5

© Горчилин В'ячеслав, 2017 р.
* Передрук статті можлива за умови встановлення посилання на цей сайт та додержанням авторських прав

« Назад
2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin