2017-09-23
Персональний сайт В'ячеслава Горчіліна
Всі статті
Апроксимація кривої Столетова для феромагнетиків
Сама по собі апроксимація — це деяке наближення до реальної функції, що дозволяє її досліджувати аналітично, і навіть «зазирнути» за межі наданих даних [1]. У цьому додатку ми покажемо досить вдалу апроксимацію кривої Столетова [2], яка дозволяє аналітично дослідити залежність магнітної проникності від напруженості магнітного поля для ферромагнетиків — \(\mu(H)\). Для цього потрібно всього три точки з графіка вимірювань. Якщо ж необхідно дослідити залежність відносної індуктивності від струму \(M(I)\), то таких точок знадобиться всього два. Саме її ми і будемо апроксимувати, а більш загальний підхід покажемо трохи нижче.
Відома така апроксимація для кривої Столетова: \[M(I) = A \exp\left(\frac {I}{I_0}\right) + \left(B - A \exp\left(\frac {I}{I_0}\right)\right) \sin\left(\frac{\pi I}{I+I_0}\right) \qquad (1)\] На жаль, точність її аппроксимирования залишає бажати кращого і для розрахунків, де потрібно мінімальне відхилення від реальної кривої, вона непридатна. Для більш точної апроксимації можна застосувати стандартний підхід, але він вимагає степеневий ряд з 6-7 членами, пошук коефіцієнтів якого буде представляти доволі складну задачу: \[M(I) = 1 + k_1\,I + k_2\,I^2 + k_3\,I^3 + k_4\,I^4 + k_5\,I^5 + \ldots \qquad (2)\] І навіть після цього точність наближення залишиться невисокою, не кажучи вже про прогнозування — здатності аппроксимационной функції спрогнозувати поведінку реальної функції за межами точок вимірювання.
На підставі досліджень реальних залежностей \(\mu(H)\) автором була розроблена простіша аппроксимационная функція, що дозволяє досить точно наблизиться до реальної кривої і навіть спрогнозувати її поведінки за межами вимірювань. Аппроксимация кривой Столетова При цьому потрібно всього дві точки досліджуваного графіка — (\(M_m, I_m\)) і (\(M_e, I_e\)), а знаходження коефіцієнтів полінома не буде представляти особливих труднощів.
Спочатку автор взяв за основу наступний поліном: \[M(I) = {1 + k_{11} I + k_{12} I^2 + k_{13} I^3 \over 1 + k_{21} I + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \qquad (3)\] Але в результаті експериментів виявилося, що з нього можна прибрати деякі члени із збереженням точності апроксимації (для кривої Столетова): \[M(I) = {1 + k_{12} I^2 \over 1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \qquad (4)\] Крім усього іншого, такий підхід дозволив знайти коефіцієнти цього полінома без використання матриць, кубічних і навіть квадратних рівнянь. Знаходяться коефіцієнти послідовно: спочатку \(k_{23}\), потім, на його основі — \(k_{22}\), а вже після — \(k_{12}\) \[k_{23} = 2 {M_m - 1 \over M_m\, I_m^3}, \quad M_m \gt 1\] \[k_{22} = {1 \over M_m - M_e} \left( {M_e - 1 \over I_e^2} + k_{23} \left( M_e I_e - \frac32 M_m I_m \right) \right) , \quad M_m \gt M_e \] \[k_{12} = M_m (k_{22} + \frac32 \, k_{23}\, I_m) \qquad (5)\] Як бачимо, знаходження коефіцієнтів полінома вимагає досить простих арифметичних дій.
Більш загальний випадок
В деяких випадках нам потрібно отримати не відносну, а абсолютну залежність магнітної проникності від струму \(\mu(I)\). Аппроксимация кривой Столетова Тоді нам буде потрібно ще одна точка — початкова проникність \(\mu_0\), а замість крапок (\(M_m, I_m\)) і (\(M_e, I_e\)) — їх абсолютні аналоги: (\(\mu_m, I_m\)) і (\(\mu_e, I_e\)). Загальна формула (4) тоді перетвориться так: \[\mu(I) = \mu_0 {1 + k_{12} I^2 \over 1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \qquad (6)\] Формули для знаходження коефіцієнтів (5) залишаться колишніми, але в них відбудуться деякі заміни: \[M_m = {\mu_m \over \mu_0} , \quad M_e = {\mu_e \over \mu_0} \qquad (7)\] Перерахувати струм напруженість магнітного поля \(H\) і отримати залежність виду \(\mu(H)\) також не представляє особливих труднощів, правда тут потрібно знання параметрів реальної конструкції пристрою: \[H = {I\ N \over \ell}\qquad (8)\] де: \N\) — кількість витків у котушці, \(\ell\) — середня довжина магнітної лінії осердя [3]. Загальна залежність в цьому випадку буде виражатися так: \[\mu(H) = \mu_0 {1 + h_{12} H^2 \over 1 + h_{22} H^2 + h_{23} H^3} \qquad (9)\] а нові коефіцієнти пересчитаются таким чином: \[h_{12} = k_{12} \left({\ell \over N} \right)^2 \quad h_{22} = k_{22} \left({\ell \over N} \right)^2 \quad h_{23} = k_{23} \left({\ell \over N} \right)^3 \qquad (10)\]
Застосування
Якщо феромагнітний матеріал виробляється для систем, де потрібно робити розрахунки по кривій Столетова (наприклад, параметричні генератори), то крім початкової проникності, їх технічні характеристики доцільно додати значення трьох коефіцієнтів — \(h_{12}\, h_{22}\, h_{23}\). За ним, завдяки формулам (4-10), можна повністю відновити цю криву. Після проведених лабораторних досліджень феромагнетика, ці коефіцієнти можна отримати за формулами (4), (7), (10).
Приклад апроксимації реально вимірюваної характеристики феритового кільця можна подивитися тут: виміряна характеристика, і апроксимація цієї кривої. На всьому її протязі, відхилення від реального графіка не перевищує 3%. Також, якщо у калькуляторі збільшити значення початкового струму, — можна побачити результат прогнозування цієї апроксимацією.

© Горчилин В'ячеслав, 2017 р.
* Передрук статті можлива за умови встановлення посилання на цей сайт та додержанням авторських прав

« Назад
2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin