Forschungswebsite von Vyacheslav Gorchilin
2019-10-23
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Doppler-Effekt. Geometrie und Mathematik
In diesem Sinne, mit Hilfe von zwei globalen Vektoren der Länge, zeigen wir eine einfache Formel für die Ausgabe релявистского Doppler-Effekt [1]. Wie zuvor, wird hier nicht angewendet werden дифференциирование und trägheitsreferenzsystemen, alles wird aufgebaut auf einer herkömmlichen Vektor-algebra ist, und die Wirkung wird offensichtlich von der geometrischen Konstruktionen.
Formulieren wir die Aufgabe so. Relativ zu einem festen Koordinatensystem (defensive Grundlinie, wo der Empfänger liegt) bewegt sich der Punkt mit der Quelle der Schwingungen einer bestimmten Frequenz (Sender) richtet sich an den Empfänger. Erforderlich ist eine Verschiebung der Frequenz im Empfänger bezüglich der Frequenz der abgestrahlten Sender.
Wir gehen durch die Betrachtung der geometrie von zwei globalen Vektoren der Länge, von denen die erste \(\mathbf{L}\) stellt die Bewegung eines Punktes, und die zweite \(\mathbf{LL}\) — zeigt die Bewegung der Wellen, die geometrisch auch präsentieren wir in Form von noch einem Punkt, relativ zum ersten bewegten. Dieser Ansatz erlaubt zu demonstrieren Einfachheit der Methode und sogar ohne Vektor-algebra, da betrachten wir die bereits bekannte Formel, die zuvor berechnete.

Der Begriff «Globale Vektor der Länge» Lesen wir verabreden kurz so bezeichnen: GVL. Vergessen Sie nicht, dass in einem wirklichen Raum, den Sie mehrdimensionale und reflektieren es auf der Zeichnung können wir nur teilweise.

Ортонормированный Basis — \(\mathbf{j_0\ldots j_n}\) — nennen wir den Referenzpunkt, da in Bezug auf Sie und wir werden die Zählung der dopplerverschiebung Auftritt. Unter der Annahme, dass bezüglich der defensiven Grundlinie geradlinig und gleichmäßig bewegt sich der Punkt mit einer gewissen Geschwindigkeit \(v_1\), dem Vektor \(\mathbf{L}\) in Abbildung (1) angezeigt in orange dargestellt. Bezüglich der erste Punkt, und der Grundlinie, bewegt sich die zweite auch mit einer bekannten Geschwindigkeit \(v_2\). Ihre Globale Vektor \(\mathbf{LL}\) bilden wird in Bezug auf die erste GVL-Winkel \(\alpha\), und bezüglich der Referenz-Grundlinie — Winkel \(\varphi\). In der Abbildung (1) dieses GVL blauer Farbe gezeichnet. Bei uns bleibt unbekannt Geschwindigkeit \(v\), die gemessen wird gemessen zwischen \(\mathbf{LL}\) und dem Grundlage, und ist die relativistische Differenz der beiden Geschwindigkeiten: \(v_1\) und \(v_2\).

Wir erinnern Sie daran, dass jede Geschwindigkeit entspricht Ihre relative Größe, zum Beispiel: \(\beta = v/c\), \(\beta_1 = v_1/c\) \(\beta_2 = v_2/c\), wobei \(c\) — Lichtgeschwindigkeit.

Abb.1. Zwei GVL die entsprechenden zwei Skalare Geschwindigkeiten. Rechts (b) zeigt eine vereinfachte, aber für die meisten Zwecke dieser Option Vektoren und Segmente, das Verhältnis von denen gefunden werden müssen
Zur Lösung dieses Problems müssen wir einfach finden das Verhältnis der beiden Vektoren von Schnitten (Abb 1b): \[D = {cT \over cT'} = {T \over T'} \qquad (1.1)\] Aber um Sie zu finden, schauen wir zunächst auf die Reflexion dieser beiden Vektoren auf der Achse der Zeit. Aus der Zeichnung (1b) unmittelbar ersichtlich ist, dass: \[cT = |\mathbf{LL}| \cos(\varphi), \quad cT' = |\mathbf{L}| \cos(\alpha) \qquad (1.2)\] Nun müssen wir noch Ausdrücken Ecken in der Abbildung durch die entsprechenden Lorentz-Faktoren \[\cos(\varphi) = 1 / \gamma, \quad \cos(\alpha) = 1 / \gamma_2 \qquad (1.3)\] und wodurch die Geschwindigkeit des Lichtes, erhalten die einfache Beziehung: \[T = t / \gamma, \quad T' = t / \gamma_2 \qquad (1.4)\]

Als Erinnerung. In diesen Formeln die entsprechenden Lorentz-Faktoren werden wie folgt definiert: \(\quad \gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2},\, \gamma_1 = 1 / \sqrt{1 - \beta_1^2},\, \gamma_2 = 1 / \sqrt{1 - \beta_2^2}\) und das Modul (Länge) GVL — so: \(|\mathbf{L}| = |\mathbf{LL}| = ct |\mathbf{R}| = ct\).

Zuvor haben wir bereits erwähnt haben diese offensichtlichen absoluten geometrischen Reduzierung der Zeit in bewegten bezugssystemen. Nun diese Eigenschaft benötigen wir für die Suche nach Ihren relativen Werten. Also, aus den bisherigen Beziehungen folgt: \[D = {T \over T'} = {\cos(\varphi) \over \cos(\alpha)} = {\gamma_2 \over \gamma} \qquad (1.5)\] Wo bleibt eine \(\gamma\) und die entsprechende relative Geschwindigkeit \(\beta\). Ist der Beweis, den wir schon angeführt haben für die Summen-Differenz der Geschwindigkeiten: \[\beta = {\beta_1 - \beta_2 \over 1 - \beta_1 \beta_2} \qquad (1.6)\] by the way, relativistische Doppler-Effekt wird direkt verbunden ist es mit der addition von Geschwindigkeiten, und es wiederum mit der Verlangsamung der Zeit in bewegten bezugssystemen. Letzteres ist eine Folge der globalen Gesetz der Erhaltung der Energie und Ihre Neuverteilung.
Einführung (1.6) unter der Quadratwurzel, jetzt können wir eine Lorentz-Faktor der Differenz der Geschwindigkeiten: \[\gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2} = \gamma_1 \gamma_2 (1 - \beta_1 \beta_2) \qquad (1.7)\] Wenn wir nun substituieren wir diesen Ausdruck in (1.5), erhalten wir: \[D = {1 \over \gamma_1 (1 - \beta_1 \beta_2)} \qquad (1.8)\] Bei der häufigsten Form von Vektor \(\mathbf{LL}\) kann zusätzlich gedreht relativ zu \(\mathbf{L}\) Winkel \(\theta\) in der Ebene senkrecht. Dann ist die Formel wird von der Kosinusfunktion des Winkels und erwirbt die folgende endgültige Form: \[D = {T \over T'} = {1 \over \gamma_1 (1 - \beta_1 \beta_2 \cos(\theta))} \qquad (1.9)\] d.h. in Situationen, in denen Radial Sender vom Empfänger gelöscht, wie in Abbildung (1), dieser Winkel ist gleich null, und wenn die Naht ist gleich \(\pi\). Wenn wir davon ausgehen, dass von den beweglichen Punkten abgestrahlte Wellen mit der Frequenz \(f'\), dann können wir bestimmen die Frequenz \(f\) in dem Empfänger, der sich relativ unbeweglich Referenz der Grundlinie, also: \[{f \over f'} = \gamma_1 (1 - \beta_1 \beta_2 \cos(\theta)) \qquad (1.10)\] wir Erinnern daran, dass hier \(f'\) — die Frequenz, mit der bewegte Sender strahlt Wellen und \(f\) — Frequenz, Feste feststehenden Empfänger (bezogen auf den Referenzpegel der Grundlinie). Die Letzte Formel entspricht nicht dem klassischen Sinn des relativistischen Doppler-Effekt [1], und sieht in Bezug auf die Klassiker wie gespiegelt. Aber genau in dieser Form ist es offenbart das Wesen einige Effekte, die bisher nicht erklärbar waren aus der Sicht der Relativitätstheorie. Dazu im nächsten Abschnitt.
 
Die verwendeten Materialien
  1. Wikipedia. Der Effekt Doppler.