Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
2019-10-23
Всі статті / Одиничне простір
Ефект Доплера. Геометрія і математика
В цій замітці, з допомогою двох глобальних векторів довжини, ми покажемо простий висновок формули для релявистского ефекту Доплера [1]. Як і раніше, тут не буде застосовуватися дифференциирование і інерціальні системи відліку, що все буде побудовано на звичайній векторної алгебри, а сам ефект буде очевидний з геометричних побудов.
Сформулюємо задачу так. Відносно нерухомої системи координат (опорний базис, де розташований приймач) рухається точка з джерелом коливань певної частоти (передавач), спрямованих до приймача. Потрібно знайти зсув частоти в приймачі щодо частоти, що випромінюється передавачем.
Ми підемо шляхом розгляду геометрії двох глобальних векторів довжини, перший з яких \(\mathbf{L}\) представляє рух точки, а другий — \(\mathbf{LL}\) — відображає рух хвилі, яку геометрично також ми представимо у вигляді ще однієї точки, що рухається відносно першої. Такий підхід дозволить наочно продемонструвати простоту методу і обійтися навіть без векторної алгебри, т. до. ми будемо враховувати вже відомі формули, виведені раніше.

Термін «глобальний вектор довжини» далі ми умовимося коротко позначати так: GVL. Не забуваємо, що в дійсному просторі він багатовимірний та відобразити його на малюнку ми можемо лише частково.

Ортонормированный базис — \(\mathbf{j_0\ldots j_n}\) — будемо називати опорним, оскільки щодо нього ми і будемо підраховувати доплеровське зміщення. Припустимо, що відносно опорного базису прямолінійно і рівномірно точка рухається з відомою швидкістю \(v_1\), вектор якої \(\mathbf{L}\) на малюнку (1) відображатися помаранчевим кольором. Щодо першої точки, і її базису, рухається друга — також з відомою швидкістю \(v_2\). Її глобальний вектор \(\mathbf{LL}\) буде утворювати щодо першого GVL кут \(\alpha\), а щодо опорного базису — кут \(\varphi\). На малюнку (1) цей GVL намальований блакитним кольором. У нас залишається невідомою швидкість \(v\), яка вимірюється вимірюється між \(\mathbf{LL}\) і опорним базисом, і є релятивістської різницею двох швидкостей: \(v_1\) і \(v_2\).

Нагадуємо, що кожної швидкості відповідає її відносна величина, наприклад: \(\beta = v/c\), \(\beta_1 = v_1/c\) \(\beta_2 = v_2/c\), де \(c\) — швидкість світла.

Рис.1. Два GVL відповідні двом скалярним швидкостей. Справа (b) зображений більш спрощений, але більш наочний варіант цих векторів і відрізки, співвідношення яких необхідно знайти
Для вирішення поставленої задачі нам потрібно просто знайти співвідношення двох відрізків векторів (рис. 1b): \[D = {cT \over cT'} = {T \over T'} \qquad (1.1)\] Але щоб їх знайти давайте подивимося спочатку на відображення цих двох векторів на вісь часу. З малюнка (1b) відразу ж видно, що: \[cT = |\mathbf{LL}| \cos(\varphi), \quad cT' = |\mathbf{L}| \cos(\alpha) \qquad (1.2)\] Тепер нам залишилося висловити кути на рисунку через відповідні Лоренц-фактори \[\cos(\varphi) = 1 / \gamma, \quad \cos(\alpha) = 1 / \gamma_2 \qquad (1.3)\] і, скорочуючи швидкості світла, отримати прості співвідношення: \[T = t / \gamma, \quad T' = t / \gamma_2 \qquad (1.4)\]

Як нагадування. В цих формулах відповідні Лоренц-Фактори визначаються наступним чином: \(\quad \gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2},\, \gamma_1 = 1 / \sqrt{1 - \beta_1^2},\, \gamma_2 = 1 / \sqrt{1 - \beta_2^2}\), а модуль (довжина) GVL — так: \(|\mathbf{L}| = |\mathbf{LL}| = ct |\mathbf{R}| = ct\).

Раніше ми вже згадували про це очевидне абсолютному геометричному скорочення часу в рухомих системах відліку. Тепер це властивість нам знадобиться для пошуку його відносних значень. Отже, з попередніх співвідношень слід: \[D = {T \over T'} = {\cos(\varphi) \over \cos(\alpha)} = {\gamma_2 \over \gamma} \qquad (1.5)\] Звідки залишається знайти \(\gamma\) і відповідну їй відносну швидкість \(\beta\). Таке доказ ми вже наводили для суми-різниці швидкостей: \[\beta = {\beta_1 - \beta_2 \over 1 - \beta_1 \beta_2} \qquad (1.6)\] До речі, релятивістський доплерівський ефект виявляється безпосередньо пов'язаний саме зі складанням швидкостей, а воно, у свою чергу, з уповільненням часу в рухомих системах відліку. Останнє є наслідком глобального закону збереження енергії і її перерозподілу.
Вводячи (1.6) під квадратний корінь, тепер ми можемо знайти Лоренц-фактор різниці швидкостей: \[\gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2} = \gamma_1 \gamma_2 (1 - \beta_1 \beta_2) \qquad (1.7)\] Якщо ми тепер підставимо цей вираз в (1.5), то отримаємо: \[D = {1 \over \gamma_1 (1 - \beta_1 \beta_2)} \qquad (1.8)\] У найбільш загальному вигляді вектор \(\mathbf{LL}\) може бути додатково повернений щодо \(\mathbf{L}\) на кут \(\theta\) в перпендикулярній площині. Тоді формула доповниться косинусом цього кута і придбає такий остаточний вигляд: \[D = {T \over T'} = {1 \over \gamma_1 (1 - \beta_1 \beta_2 \cos(\theta))} \qquad (1.9)\] тобто в ситуації, коли передавач радіально віддаляється від приймача, як на малюнку (1), цей кут дорівнює нулю, а якщо наближається — то дорівнює \(\pi\). Якщо ми припустимо, що з рухомої точки випромінюються хвилі з частотою \(f'\), то ми можемо визначити частоту \(f\) в приймачі, який розташований нерухомо відносно опорного базису, так: \[{f \over f'} = \gamma_1 (1 - \beta_1 \beta_2 \cos(\theta)) \qquad (1.10)\] Нагадуємо, що тут \(f'\) — частота, з якою рухається передавач випромінює хвилі, а \(f\) — частота, фиксируемая нерухомим приймачем (щодо опорного базису). Остання формула не відповідає класичному вигляді релятивистского ефекту Доплера [1], і виглядає відносно класики як би дзеркально. Але саме в такому вигляді вона розкриває суть деяких ефектів, які раніше не могли бути пояснені з точки зору теорії відносності. Про це — наступний розділ.
 
Використовувані матеріали
  1. Вікіпедія. Ефект Доплера.