2016-09-13
Персональний сайт В'ячеслава Горчіліна
Всі статті
Магнітна складова енергії стоячих хвиль
Ще Ампер зауважив, що при внесенні провідника перпендикулярно силовим лініям магнітного поля в самому провіднику починає текти струм. Причому вектор швидкості повинен бути перпендикулярний, як лініям магнітного поля, так і напрямку струму. Тобто по факту маємо три перпедикулярные між собою сили, що переходять одна в іншу в залежності від умов експерименту. А що, якщо одна з сил, наприклад, магнітна, буде формуватися стоячою хвилею, енергетичні витрати на підтримку якої мінімальні? У цій роботі ми постараємося відповісти на це питання.
1. Площа амплітуди зміщення стоячої хвилі
Подивіться на два приклад — приклад 1 і приклад 2 — В обох випадках ми спостерігаємо стоячу хвилю, але в першому — хвиля візуально варто, а в другому — рухається. Більш детально процес перетворення поперечних хвиль в поздовжні дивіться тут.

Оскільки анімація побудована з максимальним наближенням до реальних лініях, на сторінці з прикладами вам потрібно почекати деякий час, поки не встановиться стаціонарний режим.

Для деяких завдань необхідно визначити величину такого руху, а оскільки хвиля зміщується всією площею, то очевидно, що її й необхідно знайти. Умовимося, що далі площа зсуву хвилі ми будемо називати ПСВ, а забігаючи вперед скажемо, що при деяких умовах ця величина і є чисельне вираження так званої вільної енергії. Але спочатку ми введемо визначення хвилі, а потім знайдемо і її ПСВ.
Рівняння стоячої хвилі
Для подання імпульсу у довгій лінії (ДЛ) скористаємося його стандартним виразом для падаючої \(A_1\) і відбитої \(A_2\) хвилі [1]. \[A_1 = \frac{a}{2} \sin(\omega t - k x), \qquad A_2 = \frac{a}{2} \sin(\omega t + k x) \qquad (1.1) \] Паралельно будемо розглядати і косинусный варіант: \[A_1 = \frac{a}{2} \cos(\omega t - k x), \qquad A_2 = \frac{a}{2} \cos(\omega t + k x) \qquad (1.2) \] де: \(a\) — амплітуда хвилі, \(\omega\) — кругова частота, \t\) — час, \k\) — просторовий множник, \(x\) — відстань. Оскільки в подальших розрахунках ми будемо застосовувати відносні одиниці, то \(\omega = k = 2\pi\). Також, в даних викладках ми будемо вважати ДЛ ідеальною, без загасання. Тоді результуючі рівняння стоячої хвилі будуть висловлюватися так: \[A = A_1 + A_2 = \frac{a}{2} (\sin(\omega t - k x) + \sin(\omega t + k x)) = a\cos(k x)\sin(\omega t) \qquad (1.3) \] \[A = A_1 + A_2 = \frac{a}{2} (\cos(\omega t - k x) + \cos(\omega t + k x)) = a\cos(k x)\cos(\omega t) \qquad (1.4) \] Приклад описаної в рівнянні (1.4) хвилі, яка знаходиться в півхвильовий ДЛ, знаходиться тут.
Для наших завдань нам потрібно складна форма імпульсу, тому для більшого узагальнення ми будемо представляти його у вигляді ряду Фур'є. Поки будемо розглядати його окремий випадок — розкладання по синусам і косинусам. Отже, синусное і косинусне рівняння стоячої хвилі у більш загальному випадку буде таким: \[A(x,t) = \sum_{i=1}^N (a_i \cos(ik x) \sin(i\omega t)) \qquad (1.5) \] \[A(x,t) = \sum_{i=1}^N (a_i \cos(ik x) \cos(i\omega t)) \qquad (1.6) \] де \N\) — число гармонік, \(a_i\) — амплітуда i-тієї гармоніки. Тепер ми можемо представляти більш складні імпульси, наприклад такі.
ПСВ
Далі, нам необхідно знайти площу зміщення хвилі, яка проходить шлях ДЛ, при цьому переміщаючись і в часі. Позначимо її символом \S\). Її значення повинно бути пропорційно зміщенню всієї площі імпульсу в просторі і в часі. Якщо ж імпульс у просторі нерухомий, а змінюється тільки в часі, то значення \(S) має бути одно нулю.
На наступному малюнку зображено один і той же імпульс, але для двох різних значень часу (1) і (2), Імпульс утворює в ДЛ стоячу хвилю, тому довжина ДЛ \(\lambda\) може приймати значення \(\frac14, \frac12, \frac34, 1\) і т. д. Смещение стоячей волны в пространстве и времени
Будемо шукати зміна площі хвилі простору-часу в такому вигляді: \[\Delta S' = \sum_i {\Delta A_x \over \Delta x } \Delta A_t \qquad (1.7) \] де: \(\Delta A_x\) — зміна амплітуди імпульсу в точці \(x\), \(\Delta x\) — зміна просторової координати в цій точці, \(\Delta A_t\) — зміна амплітуди імпульсу при зміщенні на \(\Delta t\), \i\) — індекс, який проходить всі значення просторової осі, від нуля до \({\lambda \over \Delta x } \). Тоді вірно і зворотне вираз: \[\Delta S' = \sum_i {\Delta A_t \over \Delta t } \Delta A_x \] Переходячи до дифференциалам і інтегралів отримуємо такий вираз: \[d S' = \int_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x } \partial A_t = \int_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x} {\partial A_t \over \partial t} dt \qquad (1.8) \] де: \({\partial A_x \over \partial x}, {\partial A_t \over \partial t}\) — приватні похідні по просторовій і часовій координаті. Тоді загальна ПСВ буде знаходитися так [2]: \[S = \iint_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x} {\partial A_t \over \partial t} dx,\, dt \qquad (1.9) \]
Нормуємо ПСВ
Щоб розібратися, яка форма імпульсу дає більший ПСВ, нам потрібно його нормувати. Для цього скористаємося теоремою Парсеваля [3] для ряду Фур'є і знайдемо нормувальник: \[\Psi = \iint_0^1 A(x,t)^2 \, dx\,dt \qquad (1.10) \] Отже тепер наша шукана формула буде виглядати так: \[\bar S = \frac {S} {\Psi} = \frac {\iint_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x} {\partial A_t \over \partial t} dx\,dt} {\iint_0^1 A(x,t)^2 \, dx\,dt} \qquad (1.11) \] Потрібно сказати, що \(\bar S\) зручна відносна величина порівняння. Наприклад, для класичного трансформатора Тесла [4], де \(\lambda = \frac14\) і тільки одна перша гармоніка, \(\bar S = 1\) (приклад). А значить всі інші ПСВ ми можемо порівнювати саме з цим випадком. Для \(\lambda = \frac12\) та перших двох однакових за амплітуди гармонік \(\bar S = 7\) — тут вже явно видно рух хвилі по ДЛ (приклад). Якщо ще додати гармоніки і цим ще більше посилити рух хвилі, можна отримати ще більше значення \(\bar S\). Так наприклад цей варіант дасть \(\bar S = 64\).

\S\) \(\bar S\) завжди будемо брати по модулю, оскільки нам важливо відносне, а не абсолютне значення цієї величини. У формулах модуль не показується, але мається на увазі.

Розрахунок за формулою (1.11) найлегше проводити в математичному редакторі, наприклад в MathCAD. Для цього редактора і цієї формули програмка знаходиться тут. Для \(N=10\) цей редактор, на комп'ютері з процесором 2.2 ГГц, прораховує формулу (1.11) за 12 секунд, для \(N=15\) — за 25 секунд. Далі буде показана спрощена формула для одного окремого випадку, але що обраховується комп'ютером за мілісекунди.
Півхвильова ДЛ
З допомогою формули (1.11) можна знаходити відносні площі зсуву для будь-яких сигналів, але оскільки нас будуть цікавити тільки імпульси у вигляді (1.5) (1.6), то можна звузити завдання та знайти більш просте рівняння для одного распостраненного окремого випадку.
При \(\lambda = \frac12\) в ДЛ встановлюється півхвильовий режим, для якого з формули (1.11) отримано більш простий вигляд. Для хвилі (1.5) спрощена формула буде такою: \[S \approx 8 \sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^3 (i-1) \over 4i^2-1} \quad \qquad (1.12) \] Для хвилі (1.6) — такий: \[S \approx 8 \sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^2 (i-1)^2 \over (2i-1)^2} \quad \qquad (1.13) \] Вони працюють з точністю 10% в діапазоні \N \le 12\). З формул, зокрема, випливає, що \(S) дорівнює нулю, якщо спектр імпульсу містить тільки одну гармоніку (приклад, приклад) або в спектрі присутні тільки непарні гармоніки (приклад). Як видно з цих прикладів, хвиля ДЛ не рухається. З подальших викладів буде ясно, що непарні гармоніки відповідають за крутизну спаду, наростання імпульсу, а парні — за рух хвилі в ДЛ. Також наведемо приклад з парними і непарними гармоніками, де вже явно видно рух хвилі.
Нормуємо наближені формули
З формули (1.10) візьмемо правило нормування і виведемо його для імпульсу (1.5) і (1.6): \[\Psi = \frac14 \sum_{i=1}^N a_i^2 \qquad (1.14)\] Таким чином, загальна наближена формула для випадку \(\lambda = \frac12\) і хвилі (1.5) буде така: \[\bar S \approx 32 {\sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^3 (i-1) \over 4i^2-1} \over \sum_{i=1}^N a_i^2} \qquad (1.15) \] а для хвилі (1.6) — така: \[\bar S \approx 32 {\sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^2 (i-1)^2 \over (2i-1)^2} \over \sum_{i=1}^N a_i^2} \qquad (1.16) \] Якщо ж всі \(a_{i}\) однакові, то тоді формули зовсім спрощуються: \[\bar S \approx {32 \over N} \sum_{i=1}^{N} { i^3 (i-1) \over 4i^2-1 } \qquad (1.17) \] \[\bar S \approx {32 \over N} \sum_{i=1}^{N} { i^2 (i-1)^2 \over (2i-1)^2} \qquad (1.18) \] З формули (1.17, 1.18) випливає цікавий факт, що ПСВ для синусної і косинусної форми хвилі трохи відрізняються.
Якщо ж число однакових по амплітуді гармонік буде досить велика \N \ge 12\), то ПСВ для синусної і косинусної форми хвилі стають приблизно рівними, а сама формула ще більше спрощується [5]: \[\bar S \approx \frac43 (2N + 1)(N + 1) \qquad (1.19)\] Потрібно не забувати, що наближені формули (1.12-1.19) виведені для приватного випадку \(\lambda = \frac12\), який ми і будемо надалі розглядати. Для квазипрямоугольного імпульсу розрахунок ПСВ наводиться тут.
Розминка для розуму, або енергія піраміди?
Цей окремий випадок приводить нас до цікавого спостереження. У формулою (1.19) було знайдено відносне (нормоване значення ПСВ, але за абсолютним значенням площа зсуву буде знаходитися так: \[S \approx \frac{a^2}{3} N(2N + 1)(N + 1) = 2 a^2 \left({N^3 \over 3} + {N^2 \over 2} + {N \over 6}\right) \qquad (1.20)\] Вираз до дужок — це квадрат амплітуди хвилі або якась одинична енергія, наприклад, одного блоку, а в дужках — формула для побудови всієї піраміди [6]. У такій інтерпретації \N\) являє собою число її ярусів, а \(S) — загальну енергію піраміди.
Але наше завдання інша — навчитися використовувати ПСВ для отримання вільної енергії, про що й піде мова в другій частині цієї статті.
 

Горчилин В'ячеслав, 2016 р.
* Передрук статті можлива за умови встановлення посилання на цей сайт та додержанням авторських прав

« Назад
2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin