Forschungswebsite von Vyacheslav Gorchilin
2019-08-01
Elektrische Kapazität der Verbindung. Die Methodik der Berechnung
In dieser Arbeit stellen wir Ihnen mit der Methodik der Berechnung der elektrischen Kapazität für symmetrische Körper, finden die Unterschiede der klassischen Berechnung und realistischere — für einige Arten von kondensatoren, geben wir die Definition für die Kapazität der Verbindung. Solche Berechnungen sind notwendig für die Lösung von komplexeren Aufgaben mit Hilfe der elektrostatischen Kondensator. In Ihnen grundsätzlich wichtig teilen verschiedene Arten von Behältern.
Hier betrachten wir die Kapazität mit nicht-Standard-Positionen, die jedoch alle Berechnungen bleiben im Rahmen der Klassiker. In Bezug auf den klassischen Darstellungen ist Sie, wie das Verhältnis von Ladung und Kapazitäten Ihres Leiters — für einsame Kapazität, und das Verhältnis von Ladung und Potentialdifferenz — für двухобкладочной Kapazität [1]: \[C = {q \over \varphi} \qquad (1)\] Diese Definition passt für die Energie im Kondensator auftretenden Prozesse: die aufgewendete Energie auf seine Ladung und der resultierenden nach — von seiner Entlassung. Hier gibt es keine Fragen. Weiter zeigen wir den Unterschied in manchen Eigenschaften für bestimmte Typen von kondensatoren, und bis wir kommen zur Kapazität mit anderen Positionen und werden prüfen, wie das Verhältnis der Strömung des elektrischen Feldes [2], die durch die Leiter der Verkleidung, geteilt durch die Ihr Potenzial. Mathematisch, dieser Thread muss noch multipliziert mit \(\varepsilon_0\) — absolute Dielektrizitätskonstante [3]: \[C = {\varepsilon_0 \Phi \over \varphi} \qquad (2)\] es scheint, es ist das gleiche, nur steht in einer anderen Form, aber im folgenden zeigen wir grundlegende Unterschied zwischen einer solchen Fragestellung. Er selbst aber, der Thread voll wird so genannt: der Thread der Vektor des elektrischen Feldes und liegt nach dem GAUSS Theorem [2]: \[\Phi = \oint \limits _{S} {E\, S} \qquad (3)\] wobei: \(E\) — elektrische Feldstärke, \(S\) — Oberfläche, durch die fließt der Strom von \(\Phi\) (Abb. 1a). Für symmetrische Körper mit dem gleichen symmetrischen Verteilung des elektrischen Feldes diese Formel stark vereinfacht und werden uns weiter in dieser Form: \[\Phi = E\, S \qquad (4)\] Hier ist zu beachten, dass die Linien des elektrischen Feldes in diesem Fall gelten die senkrecht zur Oberfläche пронизываемой Ihnen Platz. Wir wissen auch, dass dieser Strom, multipliziert mit der Dielektrizitätskonstante, gibt uns die Ladung, die dieser Thread bildet die durch die Oberfläche der: \[q_2 = \varepsilon_0 \Phi = \varepsilon_0 E\, S \qquad (5)\] Doch finden wir auch den gesamtfluss von der ersten Quelle der Ladung (Abb. 1a): \[q_1 = \varepsilon_0 E\, S_g \qquad (6)\] Daraus können wir ableiten, nur zwei Formeln, die uns in der Zukunft benötigt werden.
1. Wir können eine bisher unbekannte Feldstärke: \[E = {q_1 \over \varepsilon_0 S_g} \qquad (7)\] 2. Wir stellen Koeffizient Verbreitung der Ladung, der wird auf der Grundlage von (5) und (6): \[k_q = {q_2 \over q_1} = {S \over S_g} \qquad (8)\] Er zeigt, wie viel verringert sich die Ladung \(q_2\), die wir Messen auf der Baustelle \(S\), die sich in einem Abstand \(d\) von der ersten зяряда \(q_1\).
Das Potenzial auf dem Platz \(S\) ist nach der klassischen Formel: \[\varphi = \int E\, \Bbb{d} x \qquad (9)\] wobei: \(x\) — Achse reltiv Zentrum des symmetrischen Körpers. Wir speziell noch nicht setzen die Grenzen der Integration, da die Kapazität für einsame und двухобкладочной Sie wird anders sein. Sie installieren wir in jedem Fall separat. Setzt man hier die Gleichung (7) finden wir: \[\varphi = {q_1 \over \varepsilon_0} \int {\Bbb{d} x \over S_g} \qquad (10)\] Dann die gesuchte Kapazität wird nach folgender einfachen Formel: \[C = {\varepsilon_0 k_q \over \int {\Bbb{d} x \over S_g}} \qquad (11)\] Bei allen упрощениях im Zusammenhang mit Ihrer Nutzung, es gut reflektiert, als Klassiker so nichtklassische Vorstellung von der Kapazität. Darüber hinaus gibt es eine komplett fehlende Felder und Ladungen, und es bleibt nur die geometrie des Kondensators. Natürlich, wie bei den Klassikern hier stellen wir eine Annahme, dass andere Gegenstände ausreichend entfernt werden und keinen Einfluss auf das elektrische Feld des Kondensators. Lassen Sie uns zunächst überprüfen Sie die Formel auf den klassischen Beispielen.
Abb.1. Schema für die Feststellung der Kapazität der flachen sphärischen und koaxial-kondensatoren
Sofort bestimmen, dass in den nachfolgenden drei Beispielen wird der Koeffizient Verbreitung der Ladung gleich der Einheit, da ganze Ströme durch die erste und die zweite Elektrode — die gleichen: \(k_q=1\).
Plattenkondensator
Nehmen wir zwei leitenden Kreises Plätzen mit \(S_1\) und \(S_2\), und positionieren Sie koaxial und rechtwinklig zueinander in einem Abstand \(d\) (Abb. 1b). Achse \(\ell\), in denen wir verbringen die Integration nach der Formel (11), befindet sich in der Mitte der Kreise und senkrecht zu deren Ebene. Wir berechnen die Kapazität des Systems, auf dem Runden Platz gleich: \(S_1=S_2=S\). Da in diesem Fall die Strömung nicht entlang der Achse bleibt unverändert, das \(S\) wird das Integralzeichen, und die Grenzen der Integration offensichtlich werden solche: (\(0, d\)): \[C = {\varepsilon_0 \over (d/S)} = {\varepsilon_0 S \over d} \qquad (12)\] also erhalten wir die klassische Formel der flachen Kondensator [1].
Sphärische Kondensator
Berechnung der Kapazität eines solchen Kondensators auch keine Schwierigkeiten (Abb. 1c). Es genügt, dass die Fläche der Kugel ist durch die Formel: \(S = 4\pi x^2\) und подствить in (11): \[C = {\varepsilon_0 \over \int {\Bbb{d} x \over 4\pi x^2}} \qquad (13)\] Grenzen der Integration hier befinden sich zwischen den beiden Radien der Kugeln: (\(r_1, r_2\)). Dann Kapazität kugelkondensator wird dies: \[C = {4\pi\varepsilon_0 \over 1/r_1 - 1/r_2} \qquad (14)\] was auch völlig entsprach der Klassiker. Übrigens, die Zahl \(\pi\) in diesen Formeln zeigt, dass die untersuchte Elektrode ist nicht nur symmetrisch, sondern ist noch und dem drehkörper.
Koaxial-Kondensator
Für die geometrische Berechnung des Kondensators nach dieser Methodik hier ist es wichtig, richtig zu wählen Symmetrieachse \(x\), entlang derer erfolgt die Integration. In den ersten beiden Fällen lag es auf der Hand, und im Falle des koaxialen Kondensators ist es notwendig, weiter zu wohnen (Abb. 1d). Diese Achse muss gerichtet werden entlang der elektrischen Feldlinien und zur gleichen Zeit — sein in Ihrer Mitte. Für die Zylinder, aus denen sich das koaxiale Kondensator, so kann die Achse durch die Mitte der Zylinder und richtet sich — senkrecht zu Ihrer Achse. Dann die Fläche kondensatorplatten (Zylinder) ist also: \(S = 2\pi x \ell\), wobei gilt: \(\ell\) — Zylinderlänge. Ersetzen Sie diese Fläche in die Formel (11): \[C = {\varepsilon_0 \over \int {\Bbb{d} x \over 2\pi x \ell}} \qquad (15)\] Grenzen der Integration hier wird zwischen zwei Radien dieser Zylinder: (\(r_1, r_2\)). Schließlich finden wir den gesuchten Kapazität \[C = {2\pi \varepsilon_0 \ell \over \ln (r_2 / r_1)} \qquad (16)\] das deckt sich auch mit der klassischen [1].
Die Kapazität der Verbindung
Wenn Sie den Wert der Kapazität zwischen zwei leitenden Elektroden, die sich in einiger Entfernung, so findet man, dass Z. B. flache, sphärische und koaxial-kondensatoren berechnet werden ohne Berücksichtigung Ihrer einsamen Kapazitäten, und die beiden Bereiche — unter Berücksichtigung solcher. So, die Kapazität zwischen zwei leitenden Kugeln (Kugeln) in klassischer Weise so berechnet [1,4,5]: \[C = 2\pi \varepsilon_0 r \left(1 + \frac{1}{2D} + \frac{1}{4D^2} + ... \right) \qquad (17)\] wobei gilt: \(D=d/(2r)\). Daraus folgt direkt, dass bei großen Werten \(d\) (Abb. 2c) die Kapazität nicht mehr ändern, fixiert auf den Wert: \(C = 2\pi \varepsilon_0 r\), und nicht mehr abhängig von der Entfernung zwischen den Sphären. Es ist ganz richtig in Bezug auf die energetischen Verhältnisse. In der Tat, wenn aufladen Sphäre entgegengesetzten Ladungen, wenn zwischen Ihnen dehnen Sie den Draht mit dem mitgelieferten konsequent mit ihm aktiven Widerstand, und entschärfen so die Sphären, das an diesem Widerstand fällt gerade die Energie, das Feld und laden Sie Sie auf. Wobei, der Abstand zwischen den Kugeln keine Rolle spielt. Das ist richtig.
Aber sehen Sie, was ein Interessantes Bild ergibt sich im Falle, wenn wir wollen auf diesen Bereichen einzuordnen Radio oder Energie-Beziehung (Bild 2a). Mal zu welchem Zeitpunkt die Kapazität nicht mehr ändern vom Abstand, so nach dem bekannten Schema (Abb. 2b) wir könnten die übermittlung von Informationen und Energie auf unbegrenzte Entfernungen. Wobei, auch zwischen den Planeten und зведами! Jedoch, wie wir wissen aus der Praxis, mit einem Abstand Leistung des Signals fällt, was logisch ist, sonst mit einem Sender könnten wir sammeln eine unendliche Anzahl энегии :) Wo ist der Fehler?
Abb.2. Die Verbindung zwischen den beiden Bereichen (a,b) und Schema für die Berechnung der Kapazität der Verbindung zwischen den beiden Bereichen (c,d)
Dieser Fehler ist, sondern eher ein Missverständnis, verschwindet, wenn Sie bei der Berechnung der kondensatoren eine eigene Kategorie, in der die Zählung der Parameter erfolgt ohne Berücksichtigung Ihrer einsamen Kapazität. Kapazität, berechnet auf diese Weise, nennen wir die Kapazität der Verbindung oder Kondensator Kommunikation.
In den meisten Fällen der Kondensator genau so berechnet. Z. B. nach der hier beschriebenen Methodik haben Kondensators berechnen kann ausschließlich die Kapazität der Verbindung. Auch, die klassischen Behälter einen flachen, sphärischen und koaxial-kondensatoren — sind als ohne Berücksichtigung der einsamen Kapazitäten Ihrer Deckschichten.
Die Kapazität der Verbindung zwischen beiden Sphären
Lassen Sie uns nun berechnen Sie die Kapazität der Verbindung zwischen den beiden Sphären mit Radius \(r\) und die Entfernung zwischen Ihnen — \(d\). Die Achse der Integration führen zwischen den Zentren der Kugeln (Abb. 2c). Aus der Theorie der Elektrostatik ist bekannt, dass die Ladung auf der Kugel können Sie geistig setzen in Ihre Mitte und weiter, auf dieser Grundlage, produzieren Berechnungen. So machen wir das mit der ersten (Links im Bild) Bereich (Abb. 2d). Von diesem Punkt werden Radial ausgehen Power elektrische Leitung \(\bar E\), ein Teil davon wird und durch die zweite Sphäre. Dann dringt die Strömung deckt Schub-Sektor (dargestellt in grün), dessen Fläche sich aus den Formeln der Trigonometrie: \[S = 2\pi \sqrt{d^2 - r^2} (d - \sqrt{d^2 - r^2}) \qquad (18)\] wir werden Erinnern, dass die elektrischen Leitungen müssen senkrecht sein пронизываемой Ihnen Platz. Auch wir werden erinnern, wie sich die Fläche des Bereichs, der gesamte Fluss überspannt: \[S_g = 4\pi d^2 \qquad (19)\] Dann wird der Koeffizient der Verbreitung Ladung hier so wird: \[k_q = \frac12 \sqrt{1 - \delta^2} (1 - \sqrt{1 - \delta^2}),\, \delta = \frac{r}{d} \qquad (20)\] Ersetzen \(d\) auf \(x\) und setzt man die Fläche (19) in die Formel (11) wir erhalten die erforderliche Kapazität: \[C = {\varepsilon_0 k_q \over \int {\Bbb{d} x \over 4\pi x^2}} \qquad (21)\] die Grenzen der Integration hier so: (\(r, d-r\)). Lösen von Integral und setzt man diese Grenze, so erhalten wir die Kapazität der Verbindung zwischen den beiden Welten zu finden: \[C = {4\pi r \varepsilon_0 {1 - \delta \over 1 - 2\delta} k_q }, \quad \delta \lt 1/2 \qquad (22)\] Wenn man \(\delta = 1/2 \), d.h. wenn die Kugel in Kontakt kommen, dann wird die Kapazität gegen unendlich Streben, was gleichbedeutend mit einem Kurzschluss kommen zwischen seinen befunden. Dies steht im Einklang mit unseren ersten Annahmen (Abb. 2b). Wenn der Abstand zwischen den Kugeln groß ist, d.h. wenn \(d \gg r\), dann diese Formel wird vereinfacht, und die Kapazität — ist also: \[C \approx {\pi r^3 \varepsilon_0 \over d^2} \qquad (23)\] Jetzt ist alles an seinem Platz: mit Zunehmender Entfernung, Kapazität Kommunikation reduziert sich auf dem ganzen Intervall.
Die verwendeten Materialien
  1. Wikipedia. Elektrische Kapazität.
  2. Wikipedia. Das Theorem Von Gauß.
  3. Wikipedia. Die absolute Dielektrizitätskonstante des Vakuums.
  4. Aufgabe der Elektrostatik. Lektion 13.
  5. Rawlins, A. D. Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres // IMA Journal of Applied Mathematics. 1985. — Vol. 34, no. 1. — P. 119-120