Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
2019-08-01
Всі статті
Електрична ємність зв'язку. Методика розрахунку
У цій роботі ми познайомимо вас з методикою розрахунку електричної ємності для симетричних тіл, знайдемо відмінності класичного розрахунку і більш реалістичного — для деяких видів конденсаторів, дамо визначення ємності для зв'язку. Такі розрахунки необхідні для вирішення більш складних завдань з використанням електростатичного конденсатора. У них принципово важливо розділяти різні види ємностей.
Тут ми будемо розглядати ємність з нестандартних позицій, тим не менш, всі розрахунки залишаться в рамках класики. З точки зору класичних уявлень вона знаходиться, як відношення заряду і потенціалу її провідника — для відокремленої ємності, і відношення заряду і різниці потенціалів — для двухобкладочной ємності [1]: \[C = {q \over \varphi} \qquad (1)\] Таке визначення годиться для енергетики відбуваються в конденсаторі процесів: витраченої енергії на його заряд і отриманої після — від його розряду. Тут питань немає. Далі ми покажемо відмінність у деяких властивостях для певних типів конденсаторів, а поки підійдемо до ємності з іншої позиції і будемо розглядати її, як відношення потоку електричного поля [2], що проходить через провідник обкладки, поділеного на її потенціал. Математично цей потік необхідно ще помножити на \(\varepsilon_0\) — абсолютну діелектричну постійну [3]: \[C = {\varepsilon_0 \Phi \over \varphi} \qquad (2)\] Здавалося б, це те ж саме, просто записано в інших вигляді, але далі ми покажемо принципова відмінність такої постановки питання. Сам же потік повністю називається так: потік вектора напруженості електричного поля і знаходиться по теоремі Гауса [2]: \[\Phi = \oint \limits _{S} {E\, S} \qquad (3)\] де: \(E\) — напруженість електричного поля, \(S) — площа поверхні, через яку протікає потік \(\Phi\) (рис. 1a). Для симетричних тіл з таким же симетричним розподілом електричного поля ця формула сильно спрощується і буде використовуватися нами далі саме у такому вигляді: \[\Phi = E\ S \qquad (4)\] Тут потрібно зауважити, що лінії електричного поля в цьому випадку вважаються перпендикулярними до поверхні пронизываемой ними площі. Ми також знаємо, що цей потік, помножений на діелектричну постійну, дає нам заряд, який цей потік утворює проходячи через поверхню: \[q_2 = \varepsilon_0 \Phi = \varepsilon_0 E\ S \qquad (5)\] Але ми також можемо знайти сумарний потік від початкового джерела заряду (рис. 1a): \[q_1 = \varepsilon_0 E\, S_g \qquad (6)\] Звідси ми можемо вивести відразу дві формули, які нам знадобляться надалі.
1. Ми можемо знайти невідому поки напруженість поля: \[E = {q_1 \over \varepsilon_0 S_g} \qquad (7)\] 2. Введемо коефіцієнт поширення заряду, який виводиться на підставі (5) і (6): \[k_q = {q_2 \over q_1} = {S \over S_g} \qquad (8)\] Він показує, наскільки зменшується заряд \(q_2\), який ми вимірюємо на майданчику \(S), яка знаходиться на відстані \d\) від початкового зяряда \(q_1\).
Потенціал на майданчику \(S) знаходиться за класичною формулою: \[\varphi = \int E\, \Bbb{d} x \qquad (9)\] де: \(x\) — вісь щодо центру симетричного тіла. Ми спеціально поки не ставимо межі інтегрування, т. к. для відокремленої ємності і двухобкладочной вони будуть різні. Їх ми будемо встановлювати в кожному випадку окремо. Підставляючи сюди формулу (7), знаходимо: \[\varphi = {q_1 \over \varepsilon_0} \int {\Bbb{d} x \over S_g} \qquad (10)\] Тоді шукана ємність буде перебувати за такою простою формулою: \[C = {\varepsilon_0 k_q \over \int {\Bbb{d} x \over S_g}} \qquad (11)\] При всіх спрощень, пов'язаних з її застосуванням, вона добре відображає, як класичні, так некласичні уявлення про ємності. Крім того, в ній повністю відсутні поля і заряди, а залишається тільки геометрія конденсатора. Звичайно ж, як і у класиці тут ми вводимо допущення, що навколишні предмети досить віддалені і ніяк не впливають на електричні поля конденсатора. Давайте для початку перевіримо цю формулу на класичних прикладах.
Рис.1. Схеми для знаходження ємності плоского сферичного і коаксіального конденсаторів
Відразу ж визначимося, що в наступних трьох прикладах коефіцієнт поширення заряду буде дорівнює одиниці, т. к. весь потоки через першу і другу обкладки — однакові: \(k_q=1\).
Плоский конденсатор
Візьмемо два провідних кола з площами \(S_1\) і \(S_2\), і розташуємо їх співвісно і перпендикулярно один до одного на відстані \d\) (рис. 1b). Вісь \(\ell\), за якою ми будемо проводити інтегрування за формулою (11), розташована в центрі кіл і перпендикулярна до їх площині. Підрахуємо ємність системи, в якій площі кіл однакові: \(S_1=S_2=S\). Оскільки в цьому випадку потік не зазнає змін вздовж осі, то \(S) виноситься за знак інтеграла, а межі інтегрування, очевидно, будуть такі: (\(0, d\)): \[C = {\varepsilon_0 \over (d/S)} = {\varepsilon_0 S \over d} \qquad (12)\] тобто отримуємо класичну формулу плоского конденсатора [1].
Сферичний конденсатор
Обчислення ємності такого конденсатора також не викликає труднощів (рис. 1c). Досить згадати, що площа сфери знаходиться за формулою: \(S = 4\pi x^2\) і подствить її в (11): \[C = {\varepsilon_0 \over \int {\Bbb{d} x \over 4\pi x^2}} \qquad (13)\] Межі інтегрування тут будуть знаходитися між двома радіусами сфер: (\(r_1, r_2\)). Тоді ємність сферичного конденсатора буде такою: \[C = {4\pi\varepsilon_0 \over 1/r_1 - 1/r_2} \qquad (14)\] що також повністю відповідає класиці. До речі, число \(\pi\) в таких формулах показує, що досліджувана обкладка не тільки симетрична, але ще є і тілом обертання.
Коаксіальний конденсатор
Для геометричного розрахунку конденсатора за наведеною тут методикою, дуже важливо правильно вибрати вісь симетрії \(x\), вздовж якої буде проводитися інтегрування. У перших двох випадках вона була очевидна, а в разі коаксіального конденсатора на ній потрібно зупинитися докладніше (рис. 1d). Ця вісь повинна бути спрямована вздовж силових ліній електричного поля і в той же час — бути в їх центрі. Для циліндрів, з яких складається коаксіальний конденсатор, така вісь може проходити через центр циліндрів і спрямована — перпендикулярно їх осей. Тоді площа обкладки конденсатора (циліндра) знаходиться так: \(S = 2\pi x \ell\), де: \(\ell\) — довжина циліндра. Підставляємо цю площу в формулу (11): \[C = {\varepsilon_0 \over \int {\Bbb{d} x \over 2\pi x \ell}} \qquad (15)\] Межі інтегрування тут будуть знаходитися між двома радіусами цих циліндрів: (\(r_1, r_2\)). Остаточно знаходимо шукану ємність \[C = {2\pi \varepsilon_0 \ell \over \ln (r_2 / r_1)} \qquad (16)\] що також співпадає з класичною [1].
Ємність зв'язку
Якщо знайти значення ємності між двома провідними обкладками, розташованими на деякій відстані, то виявиться, що, наприклад, плоский, сферичний і коаксіальний конденсатори розраховуються без урахування їх відокремлених ємностей, а дві сфери — з урахуванням таких. Так, ємність між двома провідними сферами (кулями) класичним чином розраховується так [1,4,5]: \[C = 2\pi \varepsilon_0 r \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4D^2} + ... \right) \qquad (17)\] де: \(D=d/(2r)\). Звідси прямо випливає, що при великих значеннях \d\) (рис. 2c) ємність перестає змінюватися, фіксується на значенні: \(C = 2\pi \varepsilon_0 r\), і не залежить від відстані між сферами. Це є абсолютно правильним з точки зору енергетичних співвідношень. Дійсно, якщо зарядити сфери протилежними зарядами, то якщо між ними протягнути дріт з включеним послідовно з ним активним опором, і розрядити таким чином сфери, то на цьому опорі виділиться якраз енергія, яка витрачалася і на їх зарядку. Причому, відстань між сферами не грає ніякої ролі. Все вірно.
Але дивіться, яка цікава картина виходить в разі, якщо ми захочемо на таких сферах влаштувати радіо або енерго -зв'язок (рис 2а). Саме з якогось моменту ємність перестає змінюватися від відстані, то за відомою схемою (рис. 2b) ми могли б передавати інформацію та енергію на необмежені відстані. Причому, навіть між планетами і зведами! Однак, як ми знаємо з практики, з відстанню потужність приймального сигналу падає, що цілком логічно, інакше з одного передавача ми могли б збирати нескінченну кількість енегіі :) Де тут помилка?
Рис.2. Зв'язок між двома сферами (a,b) і схема для розрахунку ємності зв'язку між двома сферами (c,d)
Ця помилка, а швидше — непорозуміння, зникне, якщо виділити при розрахунку конденсаторів окрему категорію, в якій підрахунок параметрів буде здійснюватися без урахування їх відокремленій ємності. Ємність, розраховану таким способом, ми будемо називати ємністю зв'язку або конденсатором зв'язку.
У переважній більшості випадків конденсатор саме так і розраховується. Наприклад, за описуваної тут методикою в конденсатора можна підрахувати виключно його ємність зв'язку. Також, класичні ємності плоского, сферичного і коаксіального конденсаторів — вважаються без обліку відокремлених ємностей їх обкладок.
Ємність зв'язку між двома сферами
Давайте тепер розрахуємо ємність зв'язку між двома сферами з радіусом \r\) і відстанню між ними — \d\). Вісь інтегрування проведемо між центрами сфер (рис. 2c). З теорії електростатики відомо, що заряд на сфері можна подумки помістити в її центр і далі, на цій підставі, проводити підрахунки. Так ми і зробимо з першої (лівої на малюнку) сферою (рис. 2d). З цієї точки будуть радіально виходити силові електричні лінії \(\bar E\), частина яких пройде і крізь другу сферу. Тоді пронизливий її потік буде охоплювати кульовий сектор (зображений зеленим кольором), площа якого знаходиться з формули тригонометрії: \[S = 2\pi \sqrt{d^2 - r^2} (d - \sqrt{d^2 - r^2}) \qquad (18)\] Нагадаємо, що силові електричні лінії повинні бути перпендикулярні пронизываемой ними площі. Також нагадаємо, що знаходиться площа сфери, що охоплює весь потік: \[S_g = 4\pi d^2 \qquad (19)\] Тоді коефіцієнт поширення заряду тут буде таким: \[k_q = \frac12 \sqrt{1 - \delta^2} (1 - \sqrt{1 - \delta^2}),\, \delta = \frac{r}{d} \qquad (20)\] Замінюючи \d\) на \(x\) і підставляючи площа (19) у формулу (11) отримуємо шукану ємність: \[C = {\varepsilon_0 k_q \over \int {\Bbb{d} x \over 4\pi x^2}} \qquad (21)\] Межі інтегрування тут такі: (\(r, d-r\)). Вирішуючи інтеграл і підставляючи ці межі, отримуємо ємність зв'язку між двома сферами: \[C = {4\pi r \varepsilon_0 {1 - \delta \over 1 - 2\delta} k_q }, \quad \delta \lt 1/2 \qquad (22)\] Якщо взяти \(\delta = 1/2 \), тобто коли сфери будуть стикатися, то ємність буде прагнути до нескінченності, що рівносильно замикання між її висновками. Це узгоджується з нашими початковими припущеннями (рис. 2b). Якщо ж відстань між сферами велика, тобто якщо(d \gg r\), то ця формула спрощується, а ємність — знаходиться так: \[C \approx {\pi r^3 \varepsilon_0 \over d^2} \qquad (23)\] Тепер все стало на свої місця: із збільшенням відстані, ємність зв'язку зменшується на всьому інтервалі.
Використовувані матеріали
  1. Вікіпедія. Електрична ємність.
  2. Вікіпедія. Теорема Гаусса.
  3. Вікіпедія. Абсолютна діелектрична проникність вакууму.
  4. Задачі електростатики. Урок 13.
  5. Rawlins, A. D. Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres // IMA Journal of Applied Mathematics. 1985. — Vol. 34, no. 1. — P. 119-120