2018-05-31
Forschungswebsite von Vyacheslav Gorchilin
Methode der numerischen Lösung von differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die Methodik der Erhalt der numerischen Lösungen diff. Gleichung zweiter Ordnung ist die gleiche wie für den ersten. Der Unterschied wird noch in einem zusätzlichen Bauteil Iteration \(Y(x_{-1})\), von dem wir sagen nur unten, und während die folgende Gleichung lösen: \[\ddot Y = f(x)\,Y + a \qquad (1)\] wir Stellen für eine bessere Wahrnehmung solche Vereinfachung: \(Y_i = Y(x_i), Y_{i-1} = Y(x_{i-1})\), und stellen Sie eine Gleichung in Form von ungefähren Werten: \[{{Y_i - Y_{i-1} \over \Delta x} - {Y_{i-1} - Y_{i-2} \over \Delta x} \over \Delta x} = {Y_i - 2Y_{i-1} + Y_{i-2} \over \Delta x^2} = f(x_i)\,Y_i + a \qquad (2)\] daraus erhält sofort eine Lösung: \[Y_i = {2Y_{i-1} - Y_{i-2} + a\,\Delta x^2 \over 1 - f(x_i)\,\Delta x^2} \qquad (3)\] Da die Iteration beginnt mit eins, dann bleibt zu entscheiden, mit den Mitgliedern der \(Y_0\) und \(Y_{-1}\). Aus der Methodik für die diff. Gleichungen Erster Ordnung, die wir bereits wissen, dass \(Y_0 = Y(0)\), aber mit dem zweiten Mitglied razberemsya Details. In Mat. Analyse es scheint, als \(\dot Y(0)\), und zu unserer Methodik das bedeutet, dass in Form von ungefähren Werten sieht die Datei so aus: \[\dot Y(0) = {Y_{0} - Y_{-1} \over \Delta x} \qquad (4)\] Woher bekommt Ihr dieses Mitglied: \[Y_{-1} = Y_{0} - \dot Y(0)\,\Delta x = Y(0) - \dot Y(0)\,\Delta x \qquad (5)\] Damit in seiner endgültigen Form die Lösung der Gleichung so geschrieben: \[Y_i = {2Y_{i-1} - Y_{i-2} + a\,\Delta x^2 \over 1 - f(x_i)\,\Delta x^2}, \quad Y_0 = Y(0), \quad Y_{-1} = Y(0) - \dot Y(0)\,\Delta x \qquad (6)\]
Auf der nächsten Seite zeigt eine Tabelle mit optimierten algorithmen für die numerische Lösung von einigen diff. Gleichungen.
 

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