2018-05-31
Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
Всі статті
Метод чисельного рішення диференціальних рівнянь другого порядку
Методика отримання чисельного рішення діфф. рівняння другого порядку та ж, що і для першого. Відмінність буде в ще одному додатковому члені ітерації \(Y(x_{-1})\), про який ми розповімо трохи нижче, а поки вирішимо наступне рівняння: \[\ddot Y = f(x)\,Y + a \qquad (1)\] Введемо для кращого сприйняття такі спрощення: \(Y_i = Y(x_i), Y_{i-1} = Y(x_{i-1})\), і представимо рівняння у вигляді наближених значень: \[{{Y_i - Y_{i-1} \over \Delta x} - {Y_{i-1} - Y_{i-2} \over \Delta x} \over \Delta x} = {Y_i - 2Y_{i-1} + Y_{i-2} \over \Delta x^2} = f(x_i)\,Y_i + a \qquad (2)\] З нього відразу ж отримуємо рішення: \[Y_i = {2Y_{i-1} - Y_{i-2} + a\,\Delta x^2 \over 1 - f(x_i)\,\Delta x^2} \qquad (3)\] Оскільки ітерації починаються з одиниці, то залишається визначитися з початковими членами \(Y_0\) \(Y_{-1}\). З методики для діфф. рівнянь першого порядку ми вже знаємо, що \(Y_0 = Y(0)\), а от з другим членом розберемося детальніше. В мат. аналізі він подається, як \(\dot Y(0)\), а для нашої методики це означає, що у вигляді наближених значень він буде виглядати так: \[\dot Y(0) = {Y_{0} - Y_{-1} \over \Delta x} \qquad (4)\] звідки отримуємо цей член: \[Y_{-1} = Y_{0} - \dot Y(0)\,\Delta x = Y(0) - \dot Y(0)\,\Delta x \qquad (5)\] Отже, в остаточному вигляді рішення рівняння запишеться так: \[Y_i = {2Y_{i-1} - Y_{i-2} + a\,\Delta x^2 \over 1 - f(x_i)\,\Delta x^2}, \quad Y_0 = Y(0), \quad Y_{-1} = Y(0) - \dot Y(0)\,\Delta x \qquad (6)\]
На наступній сторінці наводиться таблиця оптимізованих алгоритмів для чисельного вирішення деяких діфф. рівнянь.
 

© Горчилин В'ячеслав, 2018 р.
* Передрук статті можлива за умови встановлення посилання на цей сайт та додержанням авторських прав

2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin