2018-05-30
Forschungswebsite von Vyacheslav Gorchilin
Tabelle algorithmen der numerischen Lösung bestimmter differentialgleichungen
Zur Verbesserung der visuellen Darstellung von algorithmen stellen wir einige Vereinfachungen. Beispiel: \(\dot Y = \frac{dY(x)}{dx}\) und die Funktionswerte an der Stelle \(x_i\) so geschrieben werden: \[Y(x_i) = Y_i \quad f(x_i) = f_i \quad g(x_i) = g_i \quad h(x_i) = h_i\] der Abstand zwischen den Punkten und unveränderliche Standard auf dem gesamten Intervall: \(\Delta x = x_i - x_{i-1}\). Es wird gewählt in Abhängigkeit von den Anforderungen der zu lösenden Aufgaben und der Leistungsfähigkeit Ihres Prozessors. Von ihm hängt auch die Anzahl an Iterationen: \(i \in 1, 2, 3, ..., N\). Die Bedeutung der Koordinaten ist einfach: \(x_i = i\,\Delta x\). Zeichen \(a, b, \omega, \alpha\) sind durch die Konstanten und dem Symbol \(\mathbf{i}\) die imaginäre Einheit.

Titel Gleichung Numerische Lösung
Lineare Gleichung Bernoulli \[g(x)\,\dot Y = f(x)\,Y + h(x)\] \[Y_i = {g_i\,Y_{i-1} + h_i\,\Delta x \over g_i - f_i\,\Delta x}, \quad Y_0 = Y(0)\]
Die gesuchte Funktion befindet sich in Exponenten Exponenten \[\dot Y = f(x) \exp(a\,Y) + h(x)\] \[Y_i = Y_{i-1} + {f_i \exp(a\,Y_{i-1}) + h_i \over 1 + a\,f_i \exp(a\,Y_{i-1}) \Delta x } \Delta x, \quad Y_0 = Y(0)\]
Die gesuchte Funktion befindet sich unter Logarithmen \[\dot Y = f(x) \ln(1+a\,Y) + h(x) \\ a\,Y \ge 0 \] \[Y_i = Y_{i-1} + \left[ f_i \ln(1+a\,Y_{i-1}) - {a\,f_i\,Y_{i-1} \over 1+a\,Y_{i-1}} + h_i \right] \Delta x \\ a\,Y_i \ge 0, \quad Y_0 = Y(0)\]
Die gesuchte Funktion befindet sich unter синусом \[\dot Y = f(x) \sin(\omega\,Y + \alpha) + h(x)\] \[Y_i = Y_{i-1} + {f_i \sin(A) + h_i \over 1 - f_i\,\omega\cos(A) } \Delta x \\ A = \omega\,Y_{i-1} + \alpha, \quad Y_0 = Y(0)\]
Gleichung mit Quadrat-Derivat \[(\dot Y)^2 = f(x)\,Y + h(x)\] \[Y_i = \begin{cases} Y_{i-1} \pm \Delta x \sqrt{A}, & A \ge 0 \\ Y_{i-1} \pm \mathbf{i} \Delta x \sqrt{|A|}, & A \lt 0 \end{cases} \\ A = f_i\,Y_{i-1} + h_i \\ Y_0 = Y(0)\]
Die Gleichung mit der quadratischen Wurzel aus der gesuchten Funktionen \[\dot Y = f(x) \sqrt{Y} + h(x)\] \[Y_i = \begin{cases} A + \Delta x\,f_i \sqrt{Y_{i-1}}, & Y_{i-1} \ge 0 \\ A + \mathbf{i}\Delta x\,f_i \sqrt{|Y_{i-1}|}, & Y_{i-1} \lt 0 \end{cases} \\ A = Y_{i-1} + h_i\,\Delta x \\ Y_0 = Y(0)\]
Gleichung Abels zweiter Art \[\dot Y\,(Y + a) = f(x)\,Y + g(x) \] \[ Y_i = \begin{cases} A + \sqrt{B}, & A \ge 0, B \ge 0 \\ A + \mathbf{i}\sqrt{|B|}, & A \ge 0, B \lt 0 \\ A - \sqrt{B}, & A \lt 0, B \ge 0 \\ A - \mathbf{i}\sqrt{|B|}, & A \lt 0, B \lt 0 \end{cases} \\ A = {Y_{i-1} + f_i\,\Delta x - a \over 2} \\ B = A^2 + a\,Y_{i-1} + g_i\,\Delta x \\ Y_0 = Y(0) \]
Gewöhnliche diff. die Gleichung zweiter Ordnung \[\ddot Y = f(x)\,Y + a\] \[Y_i = {2Y_{i-1} - Y_{i-2} + a\,\Delta x^2 \over 1 - f_i\,\Delta x^2} \\ Y_0 = Y(0), \quad Y_{-1} = Y(0) - \dot Y(0)\,\Delta x\]
Die Gleichung Sinus-Gordon. Die gesuchte Funktion befindet sich unter синусом \[\ddot Y = f(x)\,\sin(\omega\,Y + \alpha)\] \[Y_i = Y_{i-1} + {Y_{i-1} - Y_{i-2} + \Delta x^2 f_i \sin(A) \over 1 - \Delta x^2 f_i\,\omega\cos(A) } \\ A = \omega\,Y_{i-1} + \alpha \\ Y_0 = Y(0), \quad Y_{-1} = Y(0) - \dot Y(0)\,\Delta x\]
Wenn im Zuge der Berechnung entsteht eine imaginäre Komponente, dann wird es brauchen, um zu speichern in einer separaten Variable. Am besten in den Aufgaben, wo eine solche Komponente kann angezeigt werden, ein aufteilen der möglichen tatsächlichen und imaginären Teile der in einzelne Variablen.
 

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