Forschungswebsite von Vyacheslav Gorchilin
2019-07-02
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Berechnung der zurückgezogenen elektrischen Kapazität ungleichmäßig geladenen Kugel
Manchmal erfordert eine einsame Schüssel-Kapazität, die ungleichmäßig geladen, wird die Funktion Surround-Verteilung der Ladung, die bekannt ist, und der Ladung symmetrisch relativ zu seinem Zentrum liegt. In diesem Fall wird bei der Berechnung der Standardformel, ausgedrückt als das Verhältnis der Ladung zum Potenzial für die kleine und erfordert eine tiefere Analyse. Hier leiten wir die Methode zur Berechnung dieser Kapazität und betrachten wir einen Spezialfall.
Zunächst erinnern, dass die elektrische Kapazität ist so [1]: \[C = {q \over \varphi} \qquad (1)\] wobei gilt: \(q\) — elektrische Ladung, \(\varphi\) — Potential. Diese Formel eignet sich gut für Körper mit gleichmäßig verteilten Ladung oder, wenn die ganze Ladung liegt auf der Oberfläche, Z. B. auf einer Kugel. Und was, wenn die Ladung ungleichmäßig verteilt? Dann ist dieses Verhältnis Verschieden für verschiedene Teile des Körpers. Als dann berechnen Sie die Gesamtkapazität? Zu Hilfe kommt Ihr die wichtigste Eigenschaft, Kotor nimmt an, dass in diesem Fall die Kapazität der einzelnen Teile des Körpers zusammengefasst werden. Bleibt zerschlagen Körper auf ausreichend kleine Stücke, und dann summieren. Wir suchen ein aufschlagen der Kugel auf die Schichten, in denen jeweils die Kapazität wird so sein: \[\Delta C_i = {\Delta q_i \over \varphi_i} \qquad (2)\] und die Kapazität — so: \[C = \sum \limits_{i=0}^N {\Delta q_i \over \varphi_i} \qquad (3)\] durch die Reduzierung der Höhe der Schicht bis zu der sehr kleinen Größe, und indem Sie die Integration, so erhalten wir die Allgemeine Formel: \[C = \int \limits_0^R {\Bbb{d} q(r) \over \varphi (r)} \qquad (4)\] wobei: \(R\) — Allgemeine Radius der Kugel, wo: \(r\) — den aktuellen Radius der Kugel. Aus der Bedingung der Aufgabe wissen wir das Bild обемного Verteilung der Ladung entlang des Radius, was bedeutet, können durch ihn auszudrücken und selbst berechnen [2]: \[q(r) = \int \limits_0^{r} \rho (r) \Bbb{d} V = 4\pi \int \limits_0^{r} \rho (r) r^2 \Bbb{d} r \qquad (5)\] wobei gilt: \(\rho (r)\) — eine bekannte Funktion обемного Verteilung der Ladung entlang des Radius. Setzt man diesen Ausdruck in die Vorherige — wir erhalten: \[C = 4\pi \int \limits_0^R {\rho (r) r^2 \over \varphi (r)} \Bbb{d} r \qquad (6)\] das Ist die Allgemeine Formel für die Suche Gesamtkapazität ungleichmäßig geladenen Kugel in der Falle, wenn die Ladung symmetrisch relativ zu seinem Zentrum liegt.
Einsame Kapazität gleichmäßig geladenen Kugel
Zunächst finden die das Potential vom Radius ausgehend von den Formeln (19) dieser Arbeit. Da in diesem Fall die Schüttdichte der Ladung nicht abhängig vom Radius und überall konstant ist, wir machen das alles für Klammern: \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} \int \limits_0^r r^2 \Bbb{d} r + \int \limits_r^R r\, \Bbb{d} r \right) \qquad (7)\] \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0} \left({R^2 \over 2} - {r^2 \over 6} \right) \qquad (8)\] Nun ersetzen Sie diese Abhängigkeit in der Formel (6), gelangen, und wir erhalten die erforderliche Kapazität: \[C = 24 \pi\, \varepsilon_0 R \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \ln{\left| {\sqrt{3}+1 \over \sqrt{3}-1}\right| } - 1 \right) \approx 10.595\, \varepsilon_0 R \qquad (9)\] Interessant ist, dass die Kapazität gleichmäßig geladenen Kugel auf 16% weniger als in einem ähnlichen Radius Kapazität einer Kugel. Aber seine Oberfläche wird es genug Platz für weniger Ladungen, als das gesamte Volumen der Kugel. Das ist ein kleines Paradoxon.
Einsame Kapazität Linear geladenen Kugel
Für Linear geladenen Kugel wählen wir diese Abhängigkeit \[\rho(r)= \rho_0 {r \over R} \qquad (10)\] tun wir weiter so, wie im vorherigen Beispiel, — finden die das Potential vom Radius der: \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0 R} \left({R^3 \over 3} - {r^3 \over 12} \right) \qquad (11)\] Und schon von hier aus — die Kapazität der Kugel zu definieren: \[C = 16 \pi\, \varepsilon_0 R\, \ln{4 \over 3} \approx 14.46\, \varepsilon_0 R \qquad (12)\] Wie wir sehen, ist die Kapazität Linear geladene Kugel um etwa 36% mehr als die Kapazität der Kugel ist gleichmäßig aufgeladen. Weiter kann man verfolgen folgende Abhängigkeit: je größer die Nichtlinearität der Verteilung der Ladung in der Kugel, desto größer ist seine Kapazität, beim gleichen Radius.
Einsame Kapazität zurück-Linear geladenen Kugel
Ein weiteres Interessantes Beispiel kann ein Ball mit Rücken-lineare Abhängigkeit der Verteilung der Ladung. D.h. nun auf seine Leiste keine Ladung, und in der Mitte — er maximale: \[\rho(r)= \rho_0 {R - r \over R} \qquad (13)\] das Potenzial, in diesem Fall verteilt sich das so: \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0 R} \left( {(R-r)^2 (R+2r) \over 6} + {r^2 - (4R-3r) \over 12}\right) \qquad (14)\] Genau finden die Kapazität der Kugel ist in diesem Fall ziemlich schwierig, so dass wir hier ein Ungefähre Ergebnis: \[C \approx 39.887\, \varepsilon_0 R \qquad (15)\] die Kapazität der Kugel mit Rücken-eine lineare Abhängigkeit etwa 2.8-mal mehr als mit einer geraden (siehe Vorheriges Beispiel), und etwa \(\pi\) - mal höher als bei vergleichbarem Radius der Sphäre.
Die verwendeten Materialien
  1. Wikipedia. Elektrische Kapazität.
  2. Wikipedia. Die Dichte der Ladung.
  3. Wikipedia. Dielektrische Permeabilität.