Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
2019-07-02
Всі статті
Обчислення відокремленій електричної ємності нерівномірно зарядженої кулі
Іноді потрібно знайти відокремлене ємність кулі, який заряджений нерівномірно, функція об'ємного розподілу заряду якого відома, а сам заряд симетрично розташований відносно його центру. В цьому випадку стандартна формула для визначення ємності, що виражається як відношення заряду до потенціалу, мало що дає і потрібно більш глибокий аналіз. Тут ми виведемо методику для підрахунку такої ємності і розглянемо один приватний випадок.
Спочатку нагадаємо, що електрична ємність знаходиться так [1]: \[C = {q \over \varphi} \qquad (1)\] де: \(q\) — електричний заряд, \(\varphi\) — потенціал. Ця формула добре підходить для тіл з рівномірно розподіленим зарядом або, коли весь заряд розташований на поверхні, наприклад, на сфері. А що, якщо заряд розподілений нерівномірно? Тоді це ставлення буде різним для різних частин тіла. Як тоді підрахувати загальну ємність? На допомогу приходить її головне властивість, яке передбачає, що в цьому випадку ємності окремих частин тіла будуть підсумовуватися. Залишається розбити тіло на досить дрібні шматочки, а потім підсумувати. Ми відразу перейдемо до кулі і розіб'ємо його на шари, в кожному з яких ємність буде знаходитися так: \[\Delta C_i = {\Delta q_i \over \varphi_i} \qquad (2)\] а загальна ємність — так: \[C = \sum \limits_{i=0}^N {\Delta q_i \over \varphi_i} \qquad (3)\] Зменшивши висоту шару до дуже малої величини, і перейшовши до інтегрування, отримаємо загальну формулу: \[C = \int \limits_0^R {\Bbb{d} q(r) \over \varphi (r)} \qquad (4)\] де: \R\) — загальний радіус кулі, де: \r\) — поточний радіус кулі. З умови задачі ми знаємо картину об'ємного розподілу заряду вздовж радіуса, а значить, можемо виразити через нього і сам заряд [2]: \[q(r) = \int \limits_0^{r} \rho (r) \Bbb{d} V = 4\pi \int \limits_0^{r} \rho (r) r^2 \Bbb{d} r \qquad (5)\] де: \(\rho (r)\) — відома функція об'ємного розподілу заряду вздовж радіуса. Підставляючи цей вираз в попередній — отримуємо: \[C = 4\pi \int \limits_0^R {\rho (r) r^2 \over \varphi (r)} \Bbb{d} r \qquad (6)\] Це і є загальна формула для пошуку загальної ємності нерівномірно зарядженої кулі в разі, якщо заряд симетрично розташований відносно його центру.
Окрема ємність рівномірно зарядженої кулі
Спочатку знайдемо залежність потенціалу від радіуса виходячи з формули (19) цієї роботи. Оскільки, в цьому випадку, об'ємна щільність заряду не залежить від радіуса і скрізь постійна, то її ми винесемо за дужки: \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} \int \limits_0^r^2 \Bbb{d} r + \int \limits_r^R r\, \Bbb{d} r \right) \qquad (7)\] \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0} \left({R^2 \over 2} - {r^2 \over 6} \right) \qquad (8)\] Тепер підставляємо цю залежність у формулу (6), звідки отримуємо шукану ємність: \[C = 24 \pi\, \varepsilon_0 R \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \ln{\left| {\sqrt{3}+1 \over \sqrt{3}-1}\right| } - 1 \right) \approx 10.595\, \varepsilon_0 R \qquad (9)\] Цікаво, що ємність рівномірно зарядженої кулі на 16% менше, ніж аналогічна по радіусу ємність сфери. Але її поверхня буде здатна вмістити менше зарядів, ніж весь об'єм кулі. У цьому полягає невеликий парадокс.
Окрема ємність лінійно зарядженої кулі
Для лінійно зарядженої кулі виберемо таку залежність \[\rho(r)= \rho_0 {r \over R} \qquad (10)\] і зробимо далі так само, як і в попередньому прикладі, — знайдемо залежність потенціалу від радіуса: \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0 R} \left({R^3 \over 3} - {r^3 \over 12} \right) \qquad (11)\] А вже звідси — визначимо ємність кулі: \[C = 16 \pi\, \varepsilon_0 R\, \ln{4 \over 3} \approx 14.46\, \varepsilon_0 R \qquad (12)\] Як бачимо, ємність лінійно зарядженої кулі приблизно на 36% більше, ніж ємність кулі рівномірно зарядженого. Далі можна простежити наступну залежність: чим більше нелінійність розподілу заряду в шарі, тим більша його ємність, при одному і тому ж радіусі.
Окрема ємність назад-лінійно зарядженої кулі
Ще одним цікавим прикладом може стати куля з обернено-лінійною залежністю розподілу заряду. Тобто тепер на його поверхні заряду немає, а в центрі — він максимальний: \[\rho(r)= \rho_0 {R - r \over R} \qquad (13)\] Потенціал, в цьому випадку, розподіляється так: \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0 R} \left( {(R-r)^2 (R+2r) \over 6} + {r^2 (4R-3r) \over 12}\right) \qquad (14)\] знайти ємність кулі в цьому випадку досить складно, тому ми відразу наведемо наближений результат: \[C \approx 39.887\, \varepsilon_0 R \qquad (15)\] Ємність кулі з обернено-лінійною залежністю приблизно в 2.8 рази більше, ніж з прямою (див. попередній приклад), і приблизно в \(\pi\) разів вище, ніж в аналогічної по радіусу сфери.
Використовувані матеріали
  1. Вікіпедія. Електрична ємність.
  2. Вікіпедія. Щільність заряду.
  3. Вікіпедія. Діелектрична проникність.