Forschungswebsite von Vyacheslav Gorchilin
2019-06-22
Das Potenzial einer geladenen Kugel. Die Methodik der Berechnung
Diese Arbeit vereinfacht die Methodik der Suche der Verteilung des elektrischen Potentials innerhalb der aufgeladenen Kugel. Die volumetrische Dichte der elektrischen Ladung kann sich entlang des Radius nach dem bekannten Gesetz, aber es muss symmetrisch relativ zu seinem Zentrum. Eine solche Aufgabe, in der Regel, gelöst mit einer langen Transformation, und nur für eine gleichmäßige Dichte der Ladung. Aber manchmal braucht man einen realistischeren Ansatz, Z. B. für ungleichmäßig verteilte Ladung im inneren der Erde, dass der klassische Ansatz erheblich erschweren Berechnungen. Hier finden wir eine einfachere Lösung und leiten Sie die Allgemeine Formel für eine solche Aufgabe.
Sie können die Aufgabe auf zwei Arten lösen: durch die elektrische Feldstärke und mit Hilfe der Laplace-Operator. Der zweite Ansatz ermöglicht es Ihnen, sofort die gewünschte doppelintegral a, aber schwach erklärt die physische Natur der Erscheinungen.
Заряженный шар
Abb.1. Geladene Kugel
Deshalb gehen immer zuerst durch, in dem das gesuchte Potential gesucht wird nach der klassischen Formel: \[\varphi(r) = - \int \limits^r E(r)\, \Bbb{d} r + const \qquad (1)\] wobei gilt: \(E(r)\) — änderung des elektrischen Feldes innerhalb der Kugel, die entlang des Radius \(r\) und \(const\) — eine gewisse Konstante.
In den Anfangsbedingungen unseres Problems gibt es nur die volumetrische Dichte der Ladung innerhalb der Kugel (\(\rho\)) und, um eine Feldstärke, müssen Sie zunächst ein paar übungen machen: äußern Sie durch die Ladung, und dann — Ladung durch seine Dichte. Dazu muss man erinnern, dass die Feldstärke und die Ladung verbinden sich mit dem Satz von Gauß [1], dessen Bedeutung ist sehr einfach: wenn man die Feldstärke in einer beliebigen Entfernung von dem System von Ladungen, das wissen Platz, охватываемую durch diese Maßnahme kann eine Summe dieser Ladungen. Gemäß den Bedingungen der Aufgabe, alle unsere Gebühren sind symmetrisch um die Mitte der Sphäre, so dass dieses Gesetz stark vereinfacht: \[E(r)\, S = { q(r) \over \varepsilon_0 } \qquad (2)\] Hier: \(S\) — Fläche von der Messung erfassten Bereiche gleich \(4\pi r^2\), \(\varepsilon_0\) — absolute Dielektrizitätskonstante des Vakuums [2]. Drücken wir daher die Spannungen; wir brauchen Sie später: \[E(r) = { q(r) \over 4\pi \varepsilon_0 r^2 } \qquad (3)\] Dann ist die Formel (1) ändert sich so: \[\varphi(r) = - {1 \over 4\pi \varepsilon_0} \int \limits^r {q(r) \over r^2} \Bbb{d} r + const \qquad (4)\] Bleibt auszudrücken Ladung durch seine Schüttdichte [3]: \[q(r) = \int \limits_{V} \rho (r)\, \Bbb{d} V \qquad (5)\] Wenn wir ersetzen Sie ein in dieses klassische Formel das Volumen einer Kugel: \(V = \frac43 \pi r^3\), dann wird es schon brauchbar für unsere Lösung: \[q(r) = 4 \pi \int \limits_0^r r^2 \rho (r)\, \Bbb{d} r \qquad (6)\] Substituieren in (4) und erhalten die Allgemeine Lösung der Aufgabe: \[\varphi(r) = - {1 \over \varepsilon_0} \int \limits^r {\Bbb{d} r \over r^2} \int \limits_0^r r^2 \rho (r)\, \Bbb{d} r + const \qquad (7)\] diese Art nicht sehr förderlich für die Offenlegung der physikalischen Bedeutung dieses Phänomens, sowie ein sehr kompliziertes Dual-Integral, die noch mehr verwirrt die Situation. Wir werden versuchen, es zu vereinfachen und bringen sogar einige neue Gesetzmäßigkeiten.
Vereinfachen die Entscheidung
Dazu wenden wir uns an Formel (3) und продеффиренцируем Sie entlang des Radius: \[\dot E_r = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left({\dot q_r \over r^2} - \frac{2}{r^3} q(r) \right) \qquad (8)\] es ist Offensichtlich, dass die Ableitung der Ladung über Radius liegt so: \[\dot q_r = 4\pi r^2 \rho (r) \qquad (9)\] In (8) substituieren wir den Wert der Ladung von (6) und (9): \[\dot E_r = \frac{1}{\varepsilon_0} \left(\rho (r) - \frac{2}{r^3} \int \limits_0^r r^2 \rho (r)\, \Bbb{d} r \right) \qquad (10)\] die Formel (1) konvertieren Sie in diese Art von \[\varphi(r) = - E(r) r + \int \limits^r r\, \dot E_r\, \Bbb{d} r + const \qquad (11)\] und substituieren Sie in die bekommene etwas früher (10): \[\varphi(r) = - E(r) r + \frac{1}{\varepsilon_0} \int \limits^r \left(r\, \rho (r) - \frac{2}{r^2} \int \limits_0^r r^2 \rho (r)\, \Bbb{d} r \right) \Bbb{d} r + const \qquad (12)\] Gleichsetzen (7) und (12) leiten das doppelte Integral über die Summe der einzelnen: \[\int \limits^r {\Bbb{d} r \over r^2} \int \limits_0^r r^2 \rho (r)\, \Bbb{d} r = \int \limits^r r\, \rho (r) \Bbb{d} r - \varepsilon_0 E(r) r \qquad (13)\] die Feldstärke hier aus den Formeln (3) und (6) und schließlich vereinfachen wir doppelintegral a: \[\int \limits^r {\Bbb{d} r \over r^2} \int \limits_0^r r^2 \rho (r) \Bbb{d} r = \int \limits^r r\, \rho (r) \Bbb{d} r - \frac{1}{r} \int \limits_0^r r^2 \rho (r)\, \Bbb{d} r \qquad (14)\] Nun substituieren wir dies alles in (7) und erhalten eine einfachere Lösung: \[\varphi(r) = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} \int \limits_0^r r^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \int \limits^r r\, \rho (r) \Bbb{d} r \right) + const \qquad (15)\] also, anstelle des Doppel-integrals wir haben zwei einzelne, was an sich ist vielleicht von Interesse für theoretische Physik.
Die Konstante
Bei der Lösung dieses Problems gibt es ein weiteres Element, das gelegentlich verursacht Schwierigkeiten für das Verständnis der realen Prozesse. Mathematisch er ist die Konstante \(const\) und noch eine unbekannte Größe. In der Tat, hier ist auch keine große Sache, da diese Konstante berücksichtigt das Potential außerhalb der Kugel, die immer gleich dem folgenden Ausdruck [4]: \[\varphi(r) = {1 \over 4\pi \varepsilon_0 } {q(R) \over r}, \quad r \gt R \qquad (16)\] wobei: \(R\) — Radius der Kugel (Abb. 1). Setzt man hier den Ausdruck (6) erhalten wir: \[\varphi(r) = {1 \over \varepsilon_0 r} \int \limits_0^R r^2 \rho (r)\, \Bbb{d} r, \quad r \gt R \qquad (17)\] Aus der Bedingung der Kontinuität des Potentials können wir sofort folgern, dass auf seiner Oberfläche, wobei \(R = r \), Formeln (15) und (17) müssen gleich sein: \[\varphi(R) = {1 \over \varepsilon_0 r} \int \limits_0^R r^2 \rho (r)\, \Bbb{d} r = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} \int \limits_0^R r^2 \rho (r) \Bbb{d} r \int \limits^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r \right) + const \qquad (17)\] von Hier aus unsere Konstante erscheint sehr einfach: \[const = {1 \over \varepsilon_0} \int \limits^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r \qquad (18)\]
Die endgültige Entscheidung
Ihn bekommen wir, wenn substituieren wir in Gleichung (15) die zuvor Gefundene Konstante: \[\varphi(r) = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} \int \limits_0^r r^2 \rho (r) \Bbb{d} r + \int \limits_r^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (19)\] Wie man sieht, nach Substitution genug war, um die Grenzen der Integration, auf die besonderes Augenmerk zu richten: in der ersten Integrale, die Sie bewegen sich von \(0\) bis \(r\), und die zweite — von \(r\) bis \(R\). Dies bringt uns zur Offenlegung physikalische Bedeutung dieser Formel, und beweist, dass das Potential innerhalb der Kugel entsteht durch die zwei unabhängigen Komponenten. Das erste Integral — definiert den Beitrag der inneren Schicht der Kugel \(0..r\), die zweite — der Beitrag der äußeren Schicht \(r..R\). Das ist die physikalische Interpretation der Formeln (19).
Beispiel: gleichmäßig geladenen Kugel
Sonderfall für diese Formel eine Potentialverteilung im inneren gleichmäßig geladenen Kugel. Wenn dem so ist, ist die Dichte der Ladung vom Radius unabhängig und wird das Integralzeichen, und selbst das klassische Beispiel ist nun sehr einfach gelöst: \[\varphi(r) = {\rho \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} \int \limits_0^r r^2 \Bbb{d} r + \int \limits_r^R r \Bbb{d} r \right) = {\rho \over \varepsilon_0} \left( \frac{r^2}{3} + \frac{R^2 - r^2}{2} \right) \qquad (20)\] by the way, ist das Potential außerhalb der Kugel befindet sich immer nach der Formel (16), unabhängig von der Verteilung der Ladungsdichte im inneren.
Die verwendeten Materialien
  1. Wikipedia. Das Theorem Von Gauß.
  2. Wikipedia. Die absolute Dielektrizitätskonstante des Vakuums.
  3. Wikipedia. Die Dichte der Ladung.
  4. Студопедия. Feld und Potential einer geladenen Kugel.