Forschungswebsite von Vyacheslav Gorchilin
2019-06-25
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Das Potenzial einer geladenen Kugel. Bei einigen Funktionen
Im vorherigen Abschnitt haben wir die Formel (19) für die Verteilung des elektrischen Potentials entlang des Radius der Kugel, abhängig von der räumlichen Verteilung der Ladungsdichte. Diese Formel erlaubt eine physikalische Bedeutung dieses Phänomens vereinfacht und mathematische Berechnungen. In diesem Abschnitt finden wir die Formel für einige der beliebtesten Funktionen, sowohl für den absoluten Kapazitäten und der Differenz zwischen der Oberfläche der Kugel und einer Schicht auf einer gewissen Tiefe.
Wir schließen für jede Funktion wird in drei Teile. In der ersten — leiten Sie die Allgemeine Formel für die Verteilung des Potentials entlang des Radius in Abhängigkeit von der gleichen räumlichen Verteilung der Ladungsdichte. Im zweiten Teil finden wir die Potentialdifferenz zwischen der Oberfläche der Kugel und einer Schicht, die sich auf einer bestimmten Tiefe \(h\). Der Dritte Teil wird посвещена Vereinfachung der Formeln aus dem zweiten Abschnitt in der Annahme, dass die Tiefe \(h\) ein Minimum von mehrere Größenordnungen geringer als das der Radius der Kugel \(R\). Diese Berechnung wird ausgehend von der ZERLEGUNG der Funktion in eine Potenzreihe die Taylor-Maclaurin Polynome [1], mit einer Genauigkeit bis zur zweiten Mitglied.
Abhängigkeit: \(\rho(r) = \rho_0\, (r/R)^n\,\) wobei: \(n \ge -1\)
1. \[\varphi(r) = { \rho_0\, R^{2} \over \varepsilon_0} {n + 3 - (r/R)^{n+2} \over (n+2) (n+3)} \qquad (1.1)\] 2. \[\Delta \varphi(h) = { \rho_0\, R^{2} \over \varepsilon_0} {(1- \frac{h}{R})^{n+2} - 1 \over (n+2) (n+3)} \qquad (1.2)\] 3. \[\Delta \varphi(h) \approx { \rho_0\, R\, h \over \varepsilon_0 (n+3)} \left({n+1 \over 2} \frac{h}{R} - 1 \right), \quad R \gg h \qquad (1.3)\]

Abhängigkeit: \(\rho(r) = \rho_0\, e^{\alpha r}\)
1. \[\varphi(r) = { \rho_0 \over \varepsilon_0\, \alpha^{2}} \left[ \frac{2}{\alpha r} (e^{\alpha r} - 1) + e^{\alpha R} (\alpha R - 1) - e^{\alpha r} \right] \qquad (2.1)\] 2. \[\Delta \varphi(h) = {\rho_0 \over \varepsilon_0\, \alpha^{2}} \left[{2 e^{\alpha B} \over \alpha (R-h)} \left(\frac{R-h}{R} - e^{-\alpha h} \right) - e^{\alpha R} \left( 1-e^{-\alpha h} \right) + {2 h \over \alpha R(R-h)} \right] \qquad (2.2)\] 3. \[\Delta \varphi(h) \approx {\rho_0\, h \over \varepsilon_0\, \alpha} \left[\frac{(1 + \delta)(\alpha R - 2) e^{\alpha R}}{\alpha R} + {2 (1 + \delta)(e^{\alpha R} - 1) \over \alpha^2 R^2} - \frac{\alpha h e^{\alpha B}}{2} \right] \qquad (2.3)\] Hier gilt Akronym: \(\delta = h/R\). Diese Formel wird vereinfacht, wenn es einige zusätzliche Bedingungen: \[\Delta \varphi(h) \approx {\rho_0\, h\, R \over \varepsilon_0} \left[e-2 + \frac{h}{R} {e-4 \over 2} \right], \quad \alpha R = 1 \qquad (2.3.1)\] \[\Delta \varphi(h) \approx -{\rho_0\, h\, R \over \varepsilon_0} \left[{1+2e(e-1) \over e} + \frac{h}{R}{11-4e \over 2e} \right], \quad \alpha R = -1 \qquad (2.3.2)\]
Die verwendeten Materialien
  1. Wikipedia. Eine Reihe von Taylor und Maclaurin Polynome.