Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
2019-06-25
Всі статті
Потенціал зарядженої кулі. Значення деяких функцій
У попередньому розділі ми вивели формулу (19) для розподілу електричного потенціалу вздовж радіуса кулі, в залежності від розподілу об'ємної щільності заряду. Ця формула дозволила знайти фізичний зміст цього явища і спростила математичні обчислення. У цьому розділі ми знайдемо формули для деяких популярних функцій, як для абсолютного потенціалу, так і для його різниці між поверхнею кулі і шаром на відомій глибині.
Висновок для кожної функції розіб'ємо на три частини. У першій — виводимо загальну формулу для розподілу потенціалу вздовж радіусу залежно від такого ж розподілу об'ємної щільності заряду. У другій частині ми знаходимо різницю потенціалів між поверхнею кулі і шаром, розташованим на деякій глибині \(h\). Третя частина буде присвячена спрощення формули з другого розділу в припущенні, що глибина \(h\) мінімум на кілька порядків менше, ніж загальний радіус кулі \R\). Цей розрахунок робиться виходячи з розкладання функції в степеневий ряд Тейлора-Маклорена [1], з точністю до другого члена.
Залежність: \(\rho(r) = \rho_0\, (r/R)^n\,\) де: \n \ge -1\)
1. \[\varphi(r) = { \rho_0\ R^{2} \over \varepsilon_0} {n + 3 - (r/R)^{n+2} \over (n+2) (n+3)} \qquad (1.1)\] 2. \[\Delta \varphi(h) = { \rho_0\ R^{2} \over \varepsilon_0} {(1- \frac{h}{R})^{n+2} - 1 \over (n+2) (n+3)} \qquad (1.2)\] 3. \[\Delta \varphi(h) \approx { \rho_0\ R\ h \over \varepsilon_0 (n+3)} \left({n+1 \over 2} \frac{h}{R} - 1 \right), \quad R \gg h \qquad (1.3)\]

Залежність: \(\rho(r) = \rho_0\, e^{\alpha r}\)
1. \[\varphi(r) = { \rho_0 \over \varepsilon_0\, \alpha^{2}} \left[ \frac{2}{\alpha r} e^{\alpha r} - 1) + e^{\alpha R} (\alpha R - 1) - e^{\alpha r} \right] \qquad (2.1)\] 2. \[\Delta \varphi(h) = {\rho_0 \over \varepsilon_0\, \alpha^{2}} \left[{2 e^{\alpha R} \over \alpha (R-h)} \left(\frac{R-h}{R} e^{-\alpha h} \right) - e^{\alpha R} \left( 1-e^{-\alpha h} \right) + {2 h \over \alpha R(R-h)} \right] \qquad (2.2)\] 3. \[\Delta \varphi(h) \approx {\rho_0\ h \over \varepsilon_0\, \alpha} \left[\frac{(1 + \delta)(\alpha R - 2) e^{\alpha R}}{\alpha R} + {2 (1 + \delta)(e^{\alpha R} - 1) \over \alpha^2 R^2} - \frac{\alpha h e^{\alpha R}}{2} \right] \qquad (2.3)\] Тут застосовується скорочення: \(\delta = h/R\). Ця формула спрощується, якщо є деякі додаткові умови: \[\Delta \varphi(h) \approx {\rho_0\ h\ R \over \varepsilon_0} \left[e-2 + \frac{h}{R} {e-4 \over 2} \right], \quad \alpha R = 1 \qquad (2.3.1)\] \[\Delta \varphi(h) \approx{\rho_0\ h\, R \over \varepsilon_0} \left[{1+2e(e-1) \over e} + \frac{h}{R}{11-4e \over 2e} \right], \quad \alpha R = -1 \qquad (2.3.2)\]
Використовувані матеріали
  1. Вікіпедія. Ряд Тейлора і Маклорена.