Науково-дослідний сайт В'ячеслава Горчіліна
2019-06-26
Всі статті
Потенціал зарядженої кулі. Апроксимація формули для різниці потенціалів
У першому розділі була виведена формула (19) для розподілу електричного потенціалу вздовж радіуса кулі, в залежності від розподілу об'ємної щільності заряду. Ще раз нагадаємо її тут: \[\varphi(r) = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} \int \limits_0^r^2 \rho (r) \Bbb{d} r + \int \limits_r^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (1)\] Завдання цього розділу — вивести наближену формулу для різниці потенціалів між шаром поверхні кулі і шаром на деякій відомій глибині \(h\), причому вона мінімум на кілька порядків менше, ніж повний радіус кулі: \R \gg h\). Вона находітс з допомогою різниці абсолютних потенціалів у двох точках: \[\Delta \varphi(h) = \varphi(R) - \varphi(R-h) \qquad (2)\] Отже: \[\Delta \varphi(h) = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R} \int \limits_0^R^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \frac{1}{R-h} \int \limits_0^{R-h} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r + \int \limits_R^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r - \int \limits_{R-h}^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (3)\] Як бачимо, третій зліва інтеграл дорівнює нулю, а отже шукана формула набуває такого вигляду: \[\Delta \varphi(h) = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R} \int \limits_0^R^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \frac{1}{R-h} \int \limits_0^{R-h} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \int \limits_{R-h}^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (4)\] Завдяки наближеному розкладання в ряд Маклорена [1] ми знаємо, що: \[\frac{1}{R-h} \approx {1 + \delta + \delta^2 \over R}, \quad \delta= \frac{h}{R} \qquad (5)\] В такому розкладі, тут і далі, ми будемо застосовувати точність до другого доданку. Тепер вираз (4) ми можемо записати так: \[\Delta \varphi(h) = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R} \int \limits_{R-h}^R^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \int \limits_{R-h}^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r - {\delta + \delta^2 \over R} \int \limits_0^{R-h} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (6)\] Різниця між верхньою і нижньою межами першого і другого інтеграла дуже мала, а значить це значення може бути знайдено за допомогою чисельного інтегрування [2], зокрема, методу трапецій. Для обчислення таких інтегралів розіб'ємо інтервал (\(R..h\)) на дві ділянки: (\(R..h/2\)) і (\(R-h/2..R-h\)). Тоді наближений інтеграл буде знаходитися так: \[\int \limits_{R-h}^R f(r) \Bbb{d} r \approx \frac{h}{2} \left({f(R) + f(R-h) \over 2} + f(R - h/2) \right) \qquad (7)\] Перетворивши таким чином перший і другий інтеграл в (6), підсумовуючи і скорочуючи отримані значення, наведемо цей вираз до наступного вигляду: \[\Delta \varphi(h) \approx {-h \over \varepsilon_0} \left( {h \over 2} \rho (R) + {1 + h/R \over R^2} \int \limits_0^{R-h} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (8)\] Це і є шукана наближена формула для знаходження різниці потенціалів між шаром поверхні кулі і шаром на глибині \(h\), при цьому: \R \gg h\). Точність обчислень перевищує \((h/R)^2\).
Робимо формулу більш зручною
Для цього представимо правий інтеграл з виразу (8) у такому вигляді: \[ \int \limits_0^{R-h} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r = \int \limits_0^{R} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \int \limits_{R-h}^{R} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r \qquad (9)\] В отриманій формулі у другого інтеграла виявляються дуже близькі кордону і з ним можна наближено знайти з допомогою виразу (7), точно також, як ми це робили раніше. Після деяких перетворень ми отримаємо більш зручний варіант шуканої формули: \[\Delta \varphi(h) \approx {-h \over \varepsilon_0} \left( {1 + h/R \over R^2} \int \limits_0^{R} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r - {h \over 2} \rho (R) \right) \qquad (10)\] В ній — верхня межа першого інтеграла шукається вже за повного радіусу, що має сильно спростити апроксимацію складних функцій.
Використовувані матеріали
  1. Вікіпедія. Ряд Тейлора і Маклорена.
  2. Вікіпедія. Ряд Чисельне інтегрування.