2017-09-23
Персональный сайт Вячеслава Горчилина
Все статьи
Аппроксимация кривой Столетова для ферромагнетиков
Сама по себе аппроксимация — это некоторое приближение к реальной функции, позволяющее её исследовать аналитически, и даже «заглянуть» за пределы предоставляемых данных [1]. В этом приложении мы покажем довольно удачную аппроксимацию кривой Столетова [2], которая позволяет аналитически исследовать зависимость магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля для ферромагнетиков — \(\mu(H)\). Для этого потребуется всего три точки из графика измерений. Если же необходимо исследовать зависимость относительной индуктивности от тока \(M(I)\), то таких точек понадобится всего две. Именно её мы и будем аппроксимировать, а более общий подход покажем чуть ниже.
Известна следующая аппроксимация для кривой Столетова: \[M(I) = A \exp\left(\frac{-I}{I_0}\right) + \left(B - A \exp\left(\frac{-I}{I_0}\right)\right) \sin\left(\frac{\pi I}{I+I_0}\right) \qquad (1)\] К сожалению, точность её аппроксимирования оставляет желать лучшего и для расчётов, где требуется минимальное отклонение от реальной кривой, она неприменима. Для более точной аппроксимации можно применить стандартный подход, но он потребует степенной ряд с 6-7 членами, поиск коэффициентов которого будет представлять довольно сложную задачу: \[M(I) = 1 + k_1\,I + k_2\,I^2 + k_3\,I^3 + k_4\,I^4 + k_5\,I^5 + \ldots \qquad (2)\] И даже после этого точность приближения останется невысокой, не говоря уже о прогнозировании — способности аппроксимационной функции спрогнозировать поведение реальной функции за пределами точек измерения.
На основании исследований реальных зависимостей \(\mu(H)\) автором была разработана более простая аппроксимационная функция, позволяющая довольно точно приблизится к реальной кривой и даже спрогнозировать её поведения за пределами измерений. Аппроксимация кривой Столетова При этом потребуется всего две точки исследуемого графика — (\(M_m, I_m\)) и (\(M_e, I_e\)), а нахождение коэффициентов полинома не будет представлять особых трудностей.
Вначале автор взял за основу следующий полином: \[M(I) = {1 + k_{11} I + k_{12} I^2 + k_{13} I^3 \over 1 + k_{21} I + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \qquad (3)\] Но в результате экспериментов оказалось, что из него можно убрать некоторые члены с сохранением точности аппроксимации (для кривой Столетова): \[M(I) = {1 + k_{12} I^2 \over 1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \qquad (4)\] Кроме всего прочего, такой подход позволил найти коэффициенты этого полинома без использования матриц, кубических и даже — квадратных уравнений. Находятся коэффициенты последовательно: сначала \(k_{23}\), затем, на его основе — \(k_{22}\), а уже после — \(k_{12}\) \[k_{23} = 2 {M_m - 1 \over M_m\, I_m^3}, \quad M_m \gt 1\] \[k_{22} = {1 \over M_m - M_e} \left( {M_e - 1 \over I_e^2} + k_{23} \left( M_e I_e - \frac32 M_m I_m \right) \right) , \quad M_m \gt M_e \] \[k_{12} = M_m (k_{22} + \frac32 \, k_{23}\, I_m) \qquad (5)\] Как видим, нахождение коэффициентов полинома требует достаточно простых арифметических действий.
Более общий случай
В некоторых случаях нам нужно получить не относительную, а абсолютную зависимость магнитной проницаемости от тока \(\mu(I)\). Аппроксимация кривой Столетова Тогда нам потребуется ещё одна точка — начальная проницаемость \(\mu_0\), а вместо точек (\(M_m, I_m\)) и (\(M_e, I_e\)) — их абсолютные аналоги: (\(\mu_m, I_m\)) и (\(\mu_e, I_e\)). Общая формула (4) тогда преобразится так: \[\mu(I) = \mu_0 {1 + k_{12} I^2 \over 1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \qquad (6)\] Формулы для нахождения коэффициентов (5) останутся прежними, но в них произойдут некоторые замены: \[M_m = {\mu_m \over \mu_0} , \quad M_e = {\mu_e \over \mu_0} \qquad (7)\] Пересчитать ток в напряженность магнитного поля \(H\) и получить зависимость вида \(\mu(H)\) также не представляет особой трудности, правда здесь потребуется знание параметров реальной конструкции устройства: \[H = {I\, N \over \ell}\qquad (8)\] где: \(N\) — количество витков в катушке, \(\ell\) — средняя длина магнитной линии сердечника [3]. Общая зависимость в этом случае будет выражаться так: \[\mu(H) = \mu_0 {1 + h_{12} H^2 \over 1 + h_{22} H^2 + h_{23} H^3} \qquad (9)\] а новые коэффициенты пересчитаются таким образом: \[h_{12} = k_{12} \left({\ell \over N} \right)^2 \quad h_{22} = k_{22} \left({\ell \over N} \right)^2 \quad h_{23} = k_{23} \left({\ell \over N} \right)^3 \qquad (10)\]
Применение
Если ферромагнитный материал производится для систем, где требуется производить расчёты по кривой Столетова (например, параметрические генераторы), то кроме начальной проницаемости, в их технические характеристики целесообразно добавить значения трёх коэффициентов — \(h_{12}\, h_{22}\, h_{23}\). По ним, благодаря формулам (4-10), можно полностью восстановить эту кривую. После проведённых лабораторных исследований ферромагнетика, эти коэффициенты можно получить по формулам (4), (7), (10).
Пример аппроксимации реально измеренной характеристики ферритового кольца можно посмотреть здесь: измеренная характеристика, и аппроксимация этой кривой. На всём её протяжении, отклонение от реального графика не превышает 3%. Также, если в калькуляторе увеличить значение начального тока, — можно увидеть результат прогнозирования этой аппроксимацией.

© Горчилин Вячеслав, 2017 г.
* Перепечатка статьи возможна с условием установки ссылки на этот сайт и соблюдением авторских прав

« Назад
2009-2017 © Vyacheslav Gorchilin