Этот параметр считается трудноопределяемым, т.к. для его расчёта, в классическом варианте, необходимо много вспомогательных данных. Сама же методика определения времени насыщения ферромагнитных сердечников несколько запутана и не всегда понятна; пример приведен в [1]. Для расчёта, такие методики требуют, как правило, рабочую частоту установившегося процесса, которая может быть неизвестна. А зачастую и вовсе требуется рассчитать время переходного процесса до момента насыщения сердечника, что эти методики сделать не позволяют.

В этой заметке мы применим более простой расчёт, основанный на коэффициентах кривой Столетова, которые можно найти по методике, предложенной в этой работе. Также, заметка призвана привлечь внимание производителей ферромагнитных материалов к тому, чтобы в паспорте феррита указывались ещё три параметра: \(h_{12}\, h_{22}\, h_{23}\). Эти три коэффициента позволяют полностью восстановить кривую Столетова, поэтому с их помощью можно определять проницаемость феррита в любой точке напряжённости магнитного поля, а также, быстро подсчитывать и оценивать некоторые важные параметры будущих устройств на таких сердечниках. Об одном из таких параметров — времени насыщения феррита — и пойдёт речь в этой работе.

Заметим, что все расчёты будут относиться к замкнутым сердечникам, без зазора (Gapped).

Принципиальная схема проверки времени насыщения \(\tau\) представлена на рисунке 1a. Она состоит из источника питания с напряжением \(U\), который подключается ключом \(SW\) к катушке индуктивности, время насыщения ферромагнитного сердечника которой мы и находим. Катушка, в общем случае, имеет активное сопротивление \(R\).

На рисунках 1b и 1c приводятся графики тока \(I\), который плавно растёт до момента насыщения сердечника. На рисунке 1c, для сравнения, добавлен график (красная кривая) катушки, которая работает без насыщения. На рисунках \(t\) — время.

Они будут постоянно фигурировать в дальнейшей работе, поэтому с них и начнём. Три взаимозаменяемых коэффициента \[ k_{12},\, k_{22},\, k_{23} \tag{1.1}\] и \[ h_{12},\, h_{22},\, h_{23} \tag{1.2}\] позволяют восстановить кривую Столетова и определять проницаемость феррита в любой точке напряжённости магнитного поля. Разница между ними следующая. Коэффициенты (1.1) предназначены для расчёта конкретной катушки с сердечником, у которой известно число витков и индуктивность. Коэффициенты (1.2) носят более общий характер и описывают магнитные свойства самого сердечника (без катушки), их то и необходимо указывать производителю в паспорте феррита. Коэффициенты пересчитываются друг в друга по следующему правилу: \[h_{12} = k_{12} \left({\ell \over N} \right)^2 \quad h_{22} = k_{22} \left({\ell \over N} \right)^2 \quad h_{23} = k_{23} \left({\ell \over N} \right)^3 \tag{1.3}\] где: \(\ell\) — средняя длина магнитной линии сердечника [2], а \(N\) — число витков катушки.

В этой части мы будем рассматривать время насыщения ферритового сердечника для катушки, в которой предполагается относительно высокая добротность (рис. 1b). Тогда формулы для расчёта постоянной времени насыщения сердечника будут очень простыми. Они выводятся из этой работы, из знаменателя (7), который не должен быть равен нулю, либо стать отрицательным. Отсюда получаем время насыщения сердечника (или постоянную времени насыщения): \[ \tau = {k_{12} \over k_{23}} {L_0 \over U} \tag{1.4}\] где: \(L_0\) — начальная индуктивность катушки (без тока), \(U\) — напряжение, подаваемое на катушку. Вполне логично, что чем меньше индуктивность катушки и чем больше подаваемое на неё напряжение, тем быстрее будет насыщаться её сердечник. Формула (1.4) позволяет найти постоянную для катушки с известной индуктивностью. Если же нам необходима постоянная для самого сердечника (без катушки), то её можно найти по формуле пересчёта коэффициентов (1.3), и формулы для расчёта индуктивности катушек с замкнутым сердечником [3]: \[ \tau = {h_{12} \over h_{23}} {L_0\, \ell \over U\, N} = \mu_0 \mu {h_{12} \over h_{23}} {S\, N \over U} \tag{1.5}\] где: \(\mu_0 \mu\) — абсолютная и относительная магнитная проницаемости соответственно [4], а \(S\) — площадь поперечного сечения сердечника.

Для незамкнутых магнитопроводов в формулы (1.5) и (1.10) необходимо ввести дополнительные коэффициенты, учитывающие неравномерность распеределения магнитного поля.

В этом случае мы должны хотя бы частично учитывать активное сопротивление обмотки катушки \(R\) (рис. 1c). С математической точки зрения это можно сделать следующим образом: взять классическое выражения для тока в LR-цепи [5] \[ I \approx {U \over R} \left( 1 - e^{- \tau R / L_0} \right) \tag{1.6}\] и подставить туда ток насыщения из знаменателя формулы (1.7) этой работы \[ I_s = {k_{12} \over k_{23}} \tag{1.7}\] Выводя отсюда время насыщения, мы получим: \[ \tau = - {L_0 \over R} \ln \left(1 - {k_{12} \over k_{23}} {R \over U} \right) \tag{1.8}\] Очевидно, что при малых значениях \(R\) формула (1.8) переходит в (1.4). Проверено, что полученная формула довольно точно работает, если соблюдается следующее условие: \[ R \leq {U \over 2} {k_{23} \over k_{12}} \tag{1.9}\] Этого диапазона вполне достаточно для большинства возможных вариантов реальных катушек и сердечников.

Тогда, для сердечника с предполагаемой катушкой со средней добротностью, время насыщения будет рассчитываться по одной из формул: \[ \tau = - {L_0 \over R} \ln \left(1 - {h_{12} \over h_{23}} {R \over U} {\ell \over N} \right) \\ \tau = - \mu_0 \mu {S\, N^2 \over \ell\, R} \ln \left(1 - {h_{12} \over h_{23}} {R \over U} {\ell \over N} \right) \tag{1.10}\] Как видим, здесь, в отличие от (1.5), необходимо учитывать среднюю длину магнитной линии, но она известна и изготовителю конкретного ферромагнитного сердечника, и конструктору-разработчику. Диапазон активного сопротивления катушки, для правильной работы этой формулы, должен также находиться из условия (1.9).

Для предварительного расчёта времени насыщения сердечника \(\tau\) можно брать простые формулы (1.4) или (1.5), которые предполагают отсутствие активного споротивления у катушки. Как правило, они не отличаются от более точных соответствующих им формул (1.8) и (1.10) более, чем в 1.5 раза. Такие простые расчёты становятся возможным, если найти коэффициенты для кривой Столетова, либо указывать их в паспорте сердечника производителем этого феррита.

На основе первой части этой работы, во второй — мы выведем приближённые формулы для некоторых коэффициентов кривой Столетова, и времени насыщения сердечника, на основе справочных данных.