2018-05-31
Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
Все статьи
Метод численного решения дифференциальных уравнений второго порядка
Методика получения численного решения дифф. уравнения второго порядка та же, что и для первого. Отличие будет в ещё одном дополнительном члене итерации \(Y(x_{-1})\), о котором мы расскажем чуть ниже, а пока решим следующее уравнение: \[\ddot Y = f(x)\,Y + a \qquad (1)\] Введём для лучшего восприятия такие упрощения: \(Y_i = Y(x_i), Y_{i-1} = Y(x_{i-1})\), и представим уравнение в виде приближённых значений: \[{{Y_i - Y_{i-1} \over \Delta x} - {Y_{i-1} - Y_{i-2} \over \Delta x} \over \Delta x} = {Y_i - 2Y_{i-1} + Y_{i-2} \over \Delta x^2} = f(x_i)\,Y_i + a \qquad (2)\] Из него сразу же получаем решение: \[Y_i = {2Y_{i-1} - Y_{i-2} + a\,\Delta x^2 \over 1 - f(x_i)\,\Delta x^2} \qquad (3)\] Поскольку итерации начинаются с единицы, то остаётся определиться с начальными членами \(Y_0\) и \(Y_{-1}\). Из методики для дифф. уравнений первого порядка мы уже знаем, что \(Y_0 = Y(0)\), а вот со вторым членом разберёмся поподробнее. В мат. анализе он представляется, как \(\dot Y(0)\), а для нашей методики это означает, что в виде приближённых значений он будет выглядеть так: \[\dot Y(0) = {Y_{0} - Y_{-1} \over \Delta x} \qquad (4)\] откуда получаем этот член: \[Y_{-1} = Y_{0} - \dot Y(0)\,\Delta x = Y(0) - \dot Y(0)\,\Delta x \qquad (5)\] Следовательно, в окончательном виде решение уравнения запишется так: \[Y_i = {2Y_{i-1} - Y_{i-2} + a\,\Delta x^2 \over 1 - f(x_i)\,\Delta x^2}, \quad Y_0 = Y(0), \quad Y_{-1} = Y(0) - \dot Y(0)\,\Delta x \qquad (6)\]
На следующей странице приводится таблица оптимизированных алгоритмов для численного решения некоторых дифф. уравнений.
 
1 2 3

© Горчилин Вячеслав, 2018 г.
* Перепечатка статьи возможна с условием установки ссылки на этот сайт и соблюдением авторских прав

2009-2018 © Vyacheslav Gorchilin