Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-06-26
Все заметки
Потенциал заряженного шара. Аппроксимация формулы для разности потенциалов
В первом разделе была выведена формула (19) для распределения электрического потенциала вдоль радиуса шара, в зависимости от распределения объёмной плотности заряда. Еще раз напомним её здесь: \[\varphi(r) = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} \int \limits_0^r r^2 \rho (r) \Bbb{d} r + \int \limits_r^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (1)\] Задача этого раздела — вывести приближённую формулу для разности потенциалов между слоем поверхности шара и слоем на некоторой известной глубине \(h\), причём она минимум на несколько порядков меньше, чем полный радиус шара: \(R \gg h\). Она находитс с помощью разности абсолютных потенциалов в двух точках: \[\Delta \varphi(h) = \varphi(R) - \varphi(R-h) \qquad (2)\] Следовательно: \[\Delta \varphi(h) = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R} \int \limits_0^R r^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \frac{1}{R-h} \int \limits_0^{R-h} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r + \int \limits_R^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r - \int \limits_{R-h}^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (3)\] Как видим, третий слева интеграл равен нулю, а значит искомая формула приобретает такой вид: \[\Delta \varphi(h) = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R} \int \limits_0^R r^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \frac{1}{R-h} \int \limits_0^{R-h} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \int \limits_{R-h}^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (4)\] Благодаря приближённому разложению в ряд Маклорена [1] мы знаем, что: \[\frac{1}{R-h} \approx {1 + \delta + \delta^2 \over R}, \quad \delta= \frac{h}{R} \qquad (5)\] В таком разложении, здесь и далее, мы будем применять точность до второго слагаемого. Теперь выражение (4) мы можем записать так: \[\Delta \varphi(h) = {1 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R} \int \limits_{R-h}^R r^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \int \limits_{R-h}^R r\, \rho (r) \Bbb{d} r - {\delta + \delta^2 \over R} \int \limits_0^{R-h} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (6)\] Разность между верхней и нижней границами первого и второго интеграла очень мала, а значит это значение может быть найдено с помощью численного интегрирования [2], в частности, метода трапеций. Для вычисления таких интегралов разобьём интервал (\(R..h\)) на два участка: (\(R..h/2\)) и (\(R-h/2..R-h\)). Тогда приближённый интеграл будет находиться так: \[\int \limits_{R-h}^R f(r) \Bbb{d} r \approx \frac{h}{2} \left({f(R) + f(R-h) \over 2} + f(R- h/2) \right) \qquad (7)\] Преобразовав таким образом первый и второй интеграл в (6), суммируя и сокращая полученные значения, приведём это выражение к следующему виду: \[\Delta \varphi(h) \approx {-h \over \varepsilon_0} \left( {h \over 2} \rho (R) + {1 + h/R \over R^2} \int \limits_0^{R-h} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r \right) \qquad (8)\] Это и есть искомая приближённая формула для нахождения разности потенциалов между слоем поверхности шара и слоем на глубине \(h\), при этом: \(R \gg h\). Точность вычислений превышает \((h/R)^2\).
Делаем формулу более удобной
Для этого представим правый интеграл из выражения (8) в таком виде: \[ \int \limits_0^{R-h} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r = \int \limits_0^{R} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r - \int \limits_{R-h}^{R} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r \qquad (9)\] В полученной формуле у второго интеграла оказываются очень близкие границы и с ним можно приближённо найти с помощью выражения (7), точно также, как мы это делали ранее. После некоторых преобразований мы получим более удобный вариант искомой формулы: \[\Delta \varphi(h) \approx {-h \over \varepsilon_0} \left( {1 + h/R \over R^2} \int \limits_0^{R} r^2 \rho (r) \Bbb{d} r - {h \over 2} \rho (R) \right) \qquad (10)\] В ней — верхняя граница первого интеграла ищется уже по полному радиусу, что должно сильно упростить аппроксимацию сложных функций.
Используемые материалы
  1. Википедия. Ряд Тейлора и Маклорена.
  2. Википедия. Ряд Численное интегрирование.