Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-11-10
Все заметки
Некоторые суммы рядов с квадратами интегралов
С необычным рядом столкнулся автор этой заметки при изучении явлений, связанных с Лоренц-фактором. При некоторых условиях сумма такого бесконечного ряда будет всегда иметь одинаковое значение. Для начала нужно ввести функцию \[h(t) = a\,t \qquad (1)\] которая будет использоваться в последующих выражениях. В ней: \(a\) — некоторая константа, \(t\) — переменная, по которой будет производится интегрирование. Представим следующую сумму ряда: \[a^2 \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left[ \int \limits_0^{1/a} h(t)^n \sqrt{1 - h(t)^2} \,\Bbb{d} t \right]^2 = 0.816 \qquad (2)\] Сумма такого ряда будет всегда равна \(0.816\), при любом \(a\). В следующей сумме поменяется верхняя граница, но она по-прежнему будет всегда одинаковой: \[a^2 \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left[ \int \limits_0^{0.5/a} h(t)^n \sqrt{1 - h(t)^2} \,\Bbb{d} t \right]^2 = 0.244 \qquad (3)\] Аналогична и следующая сумма: \[a^2 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left[ \int \limits_0^{1/a} h(t)^n \sqrt{1 - h(t)^2} \,\Bbb{d} t \right]^2 = 0.2 \qquad (4)\] Здесь суммирование ряда начинается не с нуля, а с единицы. Эта сумма также будет всегда одинакова, при любом \(a\). Меняя верхний предел интегрирования и начальное значение \(n\) можно получать различные значения стабильных сумм ряда.