Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-08-20
Все заметки
Метод увеличения КПД 2-го рода на параметрическом LR-контуре
Из определения КПД второго рода следует, что для его увеличения необходимо беззатратно повышать напряжение при том же самом заряде. Из известных реактивных элементов такую возможность даёт индуктивность, но не напрямую, а при некоторых манипуляциях с этим параметром: её параметрического изменения. Если представить себе катушку, в которой в момент её накачки током, а значит и зарядом, индуктивность имеет одно значение, а при отключении накачки и появлении обратной ЭДС — другое и большее, то мы как раз и получаем более высокое напряжение при том же самом заряде. Еще больше повысить эффективность такого принципа можно, если менять сопротивление в LR-цепи одновременно с изменением индуктивности. Само по себе изменение этого параметра не приводит к повышению КПД.
В этой заметке мы поговорим о методе, в котором задействуется параметрическая индуктивность и активное сопротивление в последовательной LR-цепи, а параметром выступает время. Здесь мы остановимся лишь на одном варианте, который нам кажется наиболее простым с точки зрения математического аппарата и с позиции его реализации, но этот же принцип вполне можно распостранить и на другие решения. Сначала мы разберём его математику, покажем теоретическую возможность увеличения \(\eta_{2}\), а затем переложим всё это на схемотехнику реального устройства.
Из формулы (4.8) этой работы мы выяснили энергетические соотношения в параметрической цепи. В данном случае конкретизируем её до рисунка (1a): \[W_R + W_F = W_E \qquad (1.1)\] Здесь: \(W_R\) — энергия, рассеиваемая на активном сопротивлении \(R\), \(W_F\) — энергия, запасаемая или отдаваемая индуктивностью \(L\), а \(W_E\) — энергия от источника питания \(U\). Тогда формула, которая нам даст картину увеличения или уменьшения КПД будет, очевидно, такой: \[K_{\eta 2} = {W_R \over W_E} \qquad (1.2)\] В случае, когда индуктивность не меняется, и сначала запасает, а затем отдаёт энергию, КПД равно единице и \(K_{\eta 2} = 1\). Но нам интересен вариант, при котором \(K_{\eta 2} \gt 1\), который мы и будем обсуждать далее. Сначала мы вспомним, как считаются токи и энергии в RL-цепях с постоянными параметрами, а затем — начнём изменять их во времени.
Рис.1. Эквивалентные схемы для расчётов (a,b) и график тока в индуктивности (c)
Из теории переходных процессов [1] нам известно, что в последовательной цепи (рис. 1a), состоящей из источника напряжения \(U\), индуктивности \(L\) и активного сопротивления \(R\), после замыкания ключа SW1, ток будет находиться так: \[I(t) = {U \over R} (1 - e^{-t/\tau}), \quad \tau = {L \over R} \qquad (1.3)\] Тогда энергия, рассеиваемая на сопротивлении за время \(T\) будет находиться так \[W_R = R \int \limits_0^T I(t)^2 \Bbb{d}t \qquad (1.4)\] а энегрия, потреблённая от источника питания за то же время, — так: \[W_E = \int \limits_0^T U I(t) \Bbb{d}t \qquad (1.5)\] Но если мы подставим (1.4-1.5) в (1.2), и всё проинтегрируем, то получим \(K_{\eta 2} \le 1\). А ведь изначально мы планировали совсем другой результат.
Повышаем КПД
Давайте попробуем менять индуктивность и сопротивление во времени, чтобы добиться нужного нам результата. Для этого рассчитаем схему, представленную на рисунке (1b), в которой два ключа, SW1 и SW2, работают поочерёдно: ключ SW1 подключает цепь \(L_1 R_1\) к источнику питания в интервал времени (\(0, T_1\)), затем размыкает свои контакты, а ключ SW2 — замыкает и этим замыкает вторую цепь \(L_2 R_2\) в интервале (\(T_1, T\)), где \(T\) — время периода, после которого всё повторяется. Две индуктивности связаны единым магнитным потоком, и поскольку они работают в разные периоды времени, то можно считать, что это одна и та же индуктивность, меняющая свой параметр во времени. Тогда мы должны рассмотреть энергетику двух процессов для двух интервалов времени (рис. 1c).
1 интервал: \(0 .. T_1\).
Ток для этого интервала находим из формулы (1.3), который сразу же подставляем в (1.4-1.5): \[W_{R1} = {U^2 \over R_1} \int \limits_0^{T_1} (1 - e^{-t/\tau 1})^2 \Bbb{d}t \qquad (1.6)\] \[W_{E1} = U \int \limits_0^T (1 - e^{-t/\tau 1}) \Bbb{d}t, \quad \tau_1 = {L_1 \over R_1} \qquad (1.7)\]
2 интервал: \(T_1 .. T\).
В начале второго интервала ток в цепи будет максимальный — \(I_1\), а поскольку источник питания здесь отключается, то спад этого тока будет находиться по другой формуле: \[I(t) = I_1 e^{-t/\tau2}, \quad \tau_2 = {L_2 \over R_2} \qquad (1.8)\] Сам же ток будет находиться из (1.3) с учётом данных первого интервала: \[I_1 = {U \over R_1} (1 - e^{-T_1/\tau1}) \qquad (1.9)\] Тогда энергетику цепи для второго интервала будем искать так: \[W_{R2} = R_2 I_1^2 \int \limits_{0}^{T-T_1} e^{-2t/\tau 2} \Bbb{d}t \qquad (1.10)\] \[W_{E2} = 0 \qquad (1.11)\] Здесь мы поступаем так, как-будто это независимый начальный интервал с начальным током \(I_1\), а потому пределы интегрирования берём такие: (\(0, T-T_1\)). Энергия от источника питания в этом интервале не потреблятся и потому приравнивается к нулю.
Мы подошли к самому интересному — общий КПД и возможности его увеличения. Из (1.2) следует, что увеличение/уменьшение КПД мы можем найти разделив энергию, рассеиваемую на сопротивлении на энергию, потребляемую от источника питания. В нашем случае нужно подсчитать всё это для двух интервалов \[K_{\eta 2} = {W_{R1} + W_{R2} \over W_{E1} + W_{E2}} \qquad (1.12)\] значения которых находятся соответственно из формул (1.6-1.7) и (1.10-1.11), после их интегрирования. Мы не будем мучать наших читателей выкладками и сразу приведём окончательный результат: \[K_{\eta 2} = {S_1 - 1.5 + 2 e^{-S_1} (1 - 0.25 e^{-S_1}) + 0.5 \delta \left(1 - e^{-S_1}\right)^2 (1 - e^{-2 S_2}) \over S_1 - 1 + e^{-S_1}} \qquad (1.13)\] где: \[S_1 = {T_1 \over \tau_1}, \quad S_2 = {T - T_1 \over \tau_2}, \quad \delta = {L_2 \over L_1} \] Само собой разумеется, что весь период должен быть больше его части, т.е.: \(T \gt T_1\). Можно показать, что если отношение индуктивностей будет равно единице (т.е. в обоих интервалах индуктивность одинакова), то прироста КПД не будет. Или — в более общем виде: \[K_{\eta 2} \le 1 \quad \Bbb{if} \quad \delta \le 1 \qquad (1.14)\] Зато если индуктивность на втором интервале будет больше индуктивности на первом, то, при условии соблюдения других параметров, прирост вплоне возможен.
Рис.2. График зависимости изменения КПД от параметров схемы при \(\delta = 1\)
Рис.3. График зависимости изменения КПД от параметров схемы при \(\delta = 1.5\)
Графики на рисунках (2,3) строились по формуле (1.13), где представлена следующая зависимость: \(K = K_{\eta 2}(S_1, S_2)\). На первом из них приводится КПД для схемы без изменения индуктивности, а на втором — пример возможного повышения КПД второго рода при отношении индуктивностей, равным полтора. Уже на данном этапе становится очевидно, что для повышения КПД просто необходимо изменение индуктивности в большую сторону при обрыве тока накачки, а также, как можно большее значение \(S_2\), что возможно, например, когда второй рабочий интервал намного больше первого (большая скважность импульса).
Конечно же, этот расчёт имеет только теоретическое значение, т.к. в нём не учитываются дополнительные реальные факторы: активное сопротивление проводов катушек, проходная и собственная ёмкость катушки, КПД генератора \(U\), переходные процессы переключения ключей. Об этом, и о более реалистичной схемотехнике, мы поговорим в следующей части этой работы.
 
1 2
Используемые материалы
  1. Переходные процессы в RLC-цепях первого порядка.