Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-08-22
Все заметки
Метод увеличения КПД 2-го рода на параметрическом LR-контуре
Ранее мы показали теоретическую возможность увеличения КПД второго рода за счёт параметрического изменения индуктивности и сопротивления в LR-цепи. Здесь нам предстоит учесть дополнительные факторы, которые обязательно присутствуют в подобных схемах, вывести более реалистичные формулы и предлжить некоторые схемотехнические варианты.
Приближаемся к реальности
Первое, что мы сразу же можем заметить, — цепочка, состоящая из \(U-R_1-L_1\) — это цепь генератора, в котором есть своё внутреннее сопротивление и активное сопротивление индуктивности \(L_1\) (рис. 1b). Вместе, это и будет \(R_1\). На нём рассеиваются потери генератора и эту энергию в формулу прироста КПД включать нельзя. Тогда формулы (1.12-1.13) преобразятся так: \[K_{\eta 2} = {W_{R2} \over W_{E1}} \qquad (2.1)\] \[K_{\eta 2} = \frac{\delta}{2} {\left(1 - e^{-S_1} \right)^2 \left(1 - e^{-2 S_2} \right) \over S_1 - 1 + e^{-S_1}} \qquad (2.2)\] Т.е. теперь мы делим то, что получаем в нагрузке на то, что мы затратили в источнике. Сравните результат из формулы (1.13), представленный на первом графике (рис. 4) и результат из более реалистичной формулы (2.2) на втором графике (рис. 5). На графиках приводится зависимость \(K = K_{\eta 2}(S_1, S_2)\), при \(\delta = 6\):
Рис.4. График зависимости прироста КПД от параметров схемы для формулы (1.13)
Рис.5. График зависимости прироста КПД от параметров схемы для формулы (2.2)
Влияние параметров ключа и ёмкости катушки
Очень большой проблемой в таких схемах являются ключи SW1 и SW2, точнее переходные процессы, происходящие в них, и их проходная ёмкость. Чем меньше \(S_1\) в последней формуле, тем больше виляют указанные выше параметры на прирост КПД. Плохие ключи могут полностью нивелировать этот прирост, о чём много рассказывает знаменитый изобретатель Aviso, практикующий подобный принцип [1]. Попробуем выяснить, что в этом случае происходит с точки зрения математики. Если посмотреть на график тока в индуктивности (рис. 6a), то при переходном процессе в ключах на этом графике появится ещё один интервал времени: \((T_1,T_2)\). Длительность этого интервала и будет временем переключения ключа: \[\tau_S = T_2 - T_1 \qquad (2.3)\]
Рис.6. График тока в индуктивности (a) и две принципиальные схемы (b,c)
Далее мы будем предполагать, что этот интервал во много раз меньше всего периода \((T \gg \tau_S)\), что соответствует реальным значениям и упрощает расчёты. Тогда в формулу (2.1) добявятся ещё два слагаемых: в числитель — потеря энергии на переключение, в знаменатель — дополнительные затраты в источнике питания в момент переключения. \[K_{\eta 2} = {K_{12}\, W_{R2} \over W_{E12} + W_{E1}} \qquad (2.4)\] \(K_{12}\) находится из соображений, что ток в индуктивности, за время \(\tau_S\), уменьшится до величины: \[I_2 = I_1 e^{-S_3}, \quad S_3 = {\tau_S \over \tau_1} \qquad (2.5)\] А значит: \[K_{12} = e^{-2 S_3} \qquad (2.6)\] Дополнение в знаменателе ищем по формуле (1.5), подставляя туда новые значения: \[W_{E12} = U I_1 \int \limits_0^{\tau_S} e^{-t/\tau_1} \Bbb{d}t = U I_1 \tau_1 (1 - e^{-S_3}) \qquad (2.7)\] Тогда формула (2.2), с учётом переходных процессов в ключе, станет такой: \[K_{\eta 2} = \frac{\delta}{2} {\left(1 - e^{-S_1} \right)^2 \left(1 - e^{-2 S_2} \right) e^{-2 S_3} \over S_1 - \left(1 - e^{-S_1} \right)e^{-S_3} } \qquad (2.8)\] На следующих графиках представлена эта формула с разными значениями \(S_3\), при \(\delta = 6\). Сравните их с графиком на рисунке (5).
Рис.7. График зависимости прироста КПД от параметров схемы. \(S_3=0.1\)
Рис.8. График зависимости прироста КПД от параметров схемы. \(S_3=0.01\)
Теперь давайте более детально рассмотрим вторую цепочку \(R_2-L_2\), которая работает во втором интервале (рис. 1b). \(R_2\) здесь является нагрузкой и на ней, до сих пор, мы считали энергию выхода всего устройства. Но в этой цепи есть ещё одно активное сопротивление — в проводе катушки \(L_2\), на котором также будет рассеиваться часть полезной энергии. Давайте его тоже учтём: \(R_2 = R_n + R_L\), где \(R_n\) будет сопротивлением нагрузки, а \(R_L\) сопротивлением провода в катушке \(L_2\). Тогда в (2.8) добавится ещё один коэффициент: \[\Bbb{COP} = K_{\eta 2} k_L, \quad k_L = {R_n \over R_n + R_L} \qquad (2.9)\] Здесь и далее мы введём коэффициент преобразования \(\Bbb{COP}\), который будет показывать реальный баланс между получаемой и затрачиваемой энергией. Хотя он применяется только для тепловых насосов, но вплоне может использоваться и для электрических генераторов. Его применение обусловлено простым удобством: чтобы отличать реальный баланс энергий и мощностей от теоретического. \(K_{\eta 2}\) мы берём из формулы (2.8).
Следующий по важности показатель — это КПД непосредственно источника питания \(U\) (рис. 1b). Хороший источник может дать КПД близкий к единице: \(\eta = 0.8 .. 0.9\), но всё же его также нужно учесть при расчётах: \[\Bbb{COP} = K_{\eta 2} k_L \eta \qquad (2.10)\]
Формула (2.10) показывает нам максимально достижимый результат, но пока без учёта ещё одного важного параметра — собственной ёмкости катушки. Она может сильно снижать результат и даже превратить выброс ЭДС в колебания, которые будут всегда давать результат: \(K_{\eta 2} \lt 1\). Об этой ёмкости мы поговорим в следующей части этой работы, а сейчас рассмотрим некоторые схемотехнические варианты.
Схемотехника
Один из вариантов представлен на рисунке (6b). Ключи здесь работают так же, как и в предыдущем случае (в противофазе), но сейчас мы можем их немного конкретизировать. Вместо SW2 может стоять высоковольтный быстродействующий диод с малой проходной ёмкостью в обратном включении (VD1). Ключ SW1, скорее всего, будет представлять управляемый быстродействующий полупроводниковый прибор (IGBT, тиристор), последовательно с которым, возможно, нужно будет установить защитный диод (также быстродействующий). На рисунке (6c) изображён вариант схемы, работающей в режиме усилителя тока. Здесь, во втором интервале диод VD1 замыкает вторую катушку и тем самым пускает избыток зарядов в первую катушку. Оттуда, через диод VD2, эта энергия поступает в нагрузку R2. В этом интервале катушки работают, как трансформатор. Расчёт такой схемы сложнее, т.к. требует согласовки катушек, когда они работают в этом режиме. На схемах изображён сердечник, но с ним нужно быть осторожнее, т.к. он может сильно искажать выбросы ЭДС, поэтому более оптимально катушки делать без него.
Безусловно, в этой работе представлены лишь несколько из множества схемотехнических вариантов; зная принцип можно самостоятельно разработать любые другие, более подходящие для исследователя, схемы.
 
1 2
Используемые материалы
  1. Ютуб. Aviso self charging motor 4 of 6 об IGBT.