2017-07-27
Персональный сайт Вячеслава Горчилина
Все статьи
Параметрическое изменение индуктивности в RL-цепи. Обратная ЭДС

В этой заметке впервые доказывается теоретическая возможность получения дополнительной энергии из обратной ЭДС в катушке индуктивности с сердечником. Доказательство приводится на основе классических формул электротехники. Согласно классификации здесь будет рассматриваться генератор первого рода первого порядка с частичным циклом PCCIE.

В наше время развелось много мифов и легенд о неисчерпаемых возможностях обратной ЭДС (ОЭДС) в катушке индуктивности. По мнению некоторых исследователей, ОЭДС может давать больше энергии, чем на на неё затрачено, причём их опыты, в некоторых случаях, это подтверждают. Теоретики объясняют такие сверхспособности теорией эфира или же неиспользованной энергией атомов ферромагнетиков. Мы же постараемся сделать выводы на основе математики и теории электрических цепей [1], которая хорошо себя зарекомендовала и может полностью отобразить необходимые нам процессы. Таким образом, автор подтверждает свою идею о том, что исследовтелям совсем необязательно уходить в дебри других теорий и гипотез, достаточно под другим углом взглянуть на классику.
Далее мы покажем, что школьная или даже вузовская — непараметрическая ОЭДС — не может увеличить КПД второго рода \((K_{\eta2})\), поэтому сразу оговоримся, что будем рассматривать только параметрическую катушку, которая меняет свою индуктивность в зависимости от напряженности магнитного поля \((H)\) в ней. А поскольку эта напряжённость прямо пропорциональна току, то в качестве параметра у нас будет выступать именно он. Пересчитать ток обратно в \(H\) не представляет особой трудности, для этого нужно знать параметры катушки и сердечника, т.е. — параметры конкретного устройства.
В предыдущей части мы показали, что параметрическое изменение ёмкости в полном цикле: заряд-разряд, не даёт увеличения \(K_{\eta2}\). То же самое можно сказать и об индуктивности: для этого достаточно заменить напряжения на токи и изменить некоторые коэффициенты в приведенном там дифф. уравнении. Но с катушкой индуктивности, которая будет содержать в себе ферромагнитный сердечник, мы можем поступить немного иначе.
Типичный график зависимости магнитной проницаемость сердечника \((\mu)\) от напряжённости магнитного поля \(H\) приведен слева [2]. Но напряженность — пропорциональна току, а проницаемость — индуктивности, а это значит, что мы можем построить график \(L(I)\), который будет полностью пропорционален \(\mu(H)\). Таким образом, мы получаем параметрическую зависимость индуктивности катушки \(L\) от тока \(I\) протекающего в ней, и с этой зависимостью мы и будем дальше работать.
В качестве примера, сравните два графика для реально измеренной характеристики феррита от строчного трансформатора: график 1, график 2. На втором графике ордината \(M(I)\) показывает насколько меняется индуктивность катушки по сравнению с первоначальной, а \(I\) — ток в этой катушке.
Напомним, что в этой заметке мы исследуем ОЭДС, посему предположим, что начальный ток \(I_0\) в катушке уже есть, а проходить он будет через электрическую цепь состоящую из индуктивности и активного сопротивления. Каким образом там появился ток мы обсудим чуть позже, а пока воспользуемся классической формулой для вычисления энергии в катушке на момент замыкания ключа SW: \[ W_L = \frac{L_0 I_0^2}{2} \qquad (3.1) \] где \(L_0\) — индуктивность катушки в момент замыкания ключа SW. Теперь наша задача такая: правильно использовать эту энергию. Для этого необходимо найти режим, при котором ток в цепи будет производить наибольшую работу на активной нагрузке. Классическая формула для поиска этой энергии такая: \[ W_R = R \int_0^T I(t)^2 dt \qquad (3.2) \] Где \(I(t)\) — ток в цепи в зависимости от времени, который нам пока неизвестен. Для того, чтобы его найти, необходимо составить дифференциальное уравнение для переходного процесса в нашей схеме [1]: \[ {L \over R} I(t)' + I(t) = 0 \qquad (3.3) \] в котором индуктивность \(L\) является параметром от тока, а ток, в свою очередь, — от времени. Для решения уравнения осталось определить зависимость индуктивности от тока, для которой можно взять полином \(M(I)\) с коэффициентами \(k_1..k_4\). Его удобство — гибкость настройки для различных зависимостей: \[ L = L_S\, M(I), \quad M(I) = {1 + k_1 I(t) + k_2 I(t)^2 \over 1 + k_3 I(t) + k_4 I(t)^3} \qquad (3.4) \] где \(L_S\) — начальная индуктивность катушки (без тока). \(M(I)\) должен быть пропорционален зависимости \(\mu\) от \(H\) в реальном сердечнике.
Введём постоянную времени цепи \(\tau = L_S/R\), с которой запишем окончательную форму дифф. уравнения: \[ \tau\, M(I)\, I' + I = 0 , \quad I=I(t) \qquad (3.5) \] Аналитическое решение этого уравнения в такой форме затруднено, поэтому воспользуемся математическим редактором MathCAD и получим его в численном виде. В редаторе мы оцениваем реальное время работы цепи после замыкания ключа, обозначаем его \(T\) и делаем это время конечным числом.
Зачем нам время?
Действительно, если мы хотим получить зависимость прироста КПД от \(\mu\) (см. верхний график), то зачем нам использовать ещё одну дополнительную переменную — время? Попробуем это исправить. Перепишем уравнение (3.6) в другом виде: \[ -\tau\, M(I)\, I' = I, \quad I=I(t) \qquad (3.6) \] и подставим в формулу (3.2): \[ W_R = R \int_0^T \left[\tau\, M(I)\, I'\right]^2 dt \qquad (3.7) \] После некоторых математических действий автором был получен довольно необычный интеграл, в котором энергия рассеивания на сопротивлении уже не зависит от \(t\), и даже от самого сопротивления: \[ W_R = \frac{L_S}{2} \int_0^{I_0^2} M(\sqrt{J})\, dJ , \quad J = I^2 \qquad (3.8) \] Здесь нужно обратить внимание на то, что в подинтегральной функции все \(I\) меняются на \(J\) по правилу: \(I=\sqrt{J}\). Для вывода окончательной формулы вычисляющей энергетический выигрыш, разделим энергию, рассеянную на активном сопротивлении, на начальную энергию в катушке: \[ K_{\eta2} = {W_R \over W_L} \qquad (3.9) \] Учитывая, что \[ W_L = {L_0\, I_0^2 \over 2} = {L_S\, M(I_0)\, I_0^2 \over 2}, \quad M(I_0)= {1 + k_1 I_0 + k_2 I_0^2 \over 1 + k_3 I_0 + k_4 I_0^3} \qquad (3.10) \] подставляем ранее полученные результаты и получаем невероятно интересную закономерность, которая не зависит от временно́й координаты: \[ K_{\eta2} = \frac{1}{M(I_0)\, I_0^2} \int_0^{I_0^2} M(\sqrt{J})\, dJ , \quad J = I^2 \qquad (3.11) \] Или, эта же формула в другой форме: \[ K_{\eta2} = \frac{2}{M(I_0)\, I_0^2} \int_0^{I_0} M(I) \, I \, dI \qquad (3.12) \] Ну а если мы хотим всё то же самое выразить через магнитную проницаемость сердечника и напряженность магнитного поля — \(\mu(H)\), то в формуле (3.12) нужно просто заменить соответствующие буквы: \[ K_{\eta2} = \frac{2}{\mu (H_0)\, H_0^2} \int_0^{H_0} \mu (H) \, H \, dH \qquad (3.13) \]

Формулы (3.11-3.13) — и есть математическое выражение свободной энергии для обратной ЭДС в катушке с сердечником! Более общий подход к выводу этой формулы смотрите здесь

Из него сразу же видно, что если параметрическая зависимость отсутствует, т.е. \(M(I)=M(J)=1\), то и прибавки нет: \(K_{\eta2}=1\). Остаётся научиться пользоваться этой формулой и узнать, может ли быть \(K_{\eta2}\) больше единицы.
Что в результате?
Для примера возьмём \(M(I)\) из формулы (3.4) и подставим его в (3.11) заменяя \(I\) на \(J\) по правилу: \(I=\sqrt{J}\). Зависимость от времени упраздняем и получаем: \[ K_{\eta2} = \frac{1}{M(I_0)\, I_0^2} \int_0^{I_0^2} {1 + k_1 J^{0.5} + k_2 J \over 1 + k_3 ^{0.5} + k_4 ^{1.5}}\, dJ \qquad (3.14) \] Опять же для примера, введём следующие ток и коэффициенты: \(I_0=1.4, k_1=10, k_2=0, k_3=0, k_4=5\). Слева показан график зависимости индуктивности катушки от тока согласно этим коэффициентам. График зависимости индуктивности катушки от тока в ней Как видим, мы работаем как в нарастающей, так и в ниспадающей области кривой намагничивания сердечника, а начальная индуктивность меньше максимальной примерно в 4 раза, что близко к реальным значениям проницаемости ферромагнетиков. Решая интеграл (3.14) получим \(K_{\eta2}=2.07\) — больше единицы!
Подставить другие коэффициенты и получить свои результаты вы можете в редакторе MathCAD загрузив туда эту программку или протестировать в калькуляторе. Из неё просматривается закономерность, которая подтверждает предположение о том, что ниспадающая часть кривой зависимости \(\mu\) от \(H\) даёт наибольший вклад в энергетическую прибавку. Кроме подбора рабочего участка на графике, для достижения положительного результата необходимо, чтобы устройство обеспечивало выход катушки на необходимый режим по току и по напряженности магнитного поля.

Обоснование возникновения дополнительной энергии в подобных устройствах смотрите здесь

Что на практике?
Нужно понимать, что получаемая по формулам (3.11-3.13) прибавка является предельной величиной. В зависимости от материала сердечника, при работе на правом ниспадающем участке \(M(I)\), могут возникать различные потери, в основном — на его нагрев. Но они не всегда будут равны этой прибавке, а значит описанный здесь путь к сверхединичным устройствам по-прежнему остаётся открытым. Из известых материалов, хорошие показатели \(K_{\eta2}\) должен давать Пермаллой, на графике которого можно без труда найти рабочий участок, ещё лучше — Метглас [8]. Чуть похуже, в этом смысле, обстоят дела с ферритами. Зависимость магнитной проницаемости сердечника от напряженности магнитного поля Многообещающе выглядят некоторые современные марки стали и определённые конструкции сердечника [5], однако нельзя забывать, что часть энергии в них может расходоваться на токи Фуко.
Пермаллой работает на относительно небольшой частоте и поэтому устройства работающие на нём не могут развить больших мощностей. Феррит может выдерживать на порядки большие частоты, но он куда более хрупок. Тем не менее, в результате, он может работать на бо́льших мощностях.
Вопрос, который пока остаётся открытым: как появляется начальный ток \(I_0\) в нашей катушке и сколько на это затрачивается энергии? Для ответа на него существуют разные подходы. Один из них предполагает, что сердечник нужно подмагничивать перпендикулярным по отношению к основному полем [3], причём делать это можно короткими импульсами, энергия которых в несколько раз меньше необходимых за счёт инерционности ферромагнетика. Второй подход [4-6] предполагает выход на рабочий режим без дополнительного перпендикулярного поля. Третий — предлагает механическое возбуждение сердечника постоянным магнитом, благодаря чему и появляется начальный ток в катушке [7].
Учитывая всё вышеизложенное нам представляется вполне реальным получение сверединичных устройств на основе катушек индуктивности с ферромагнитным сердечником. Как известно, если математика дала зелёный свет, то практическая реализация не заставит себя ждать.
По итогам этой работы был сделан специализированный калькулятор, который позволяет найти зависимость магнитной проницаемости любого сердечника — от напряженности магнитного поля, а также — вычислить в нём потенциально достижимое приращение КПД второго рода.
 
1 2 3 4 5

© Горчилин Вячеслав, 2017 г.
* Перепечатка статьи возможна с условием установки ссылки на этот сайт и соблюдением авторских прав

« Назад
2009-2017 © Vyacheslav Gorchilin