Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-07-25
Все заметки
Электростатический конденсатор. Расчёт схем
Для правильного расчёта электрической схемы нам понадобится модель электростатического конденсатора (ЭСК), особенности которого мы обсуждали в предыдущей части этой работы. К сожалению, взять готовую модель не представляется возможным, т.к. ЭСК, и связанная с ним система отсчёта, ранее просто не рассматривались. Рассчитаем её самостоятельно.
Модель ЭСК
Модель обычного двухобкладочного конденсатора представлена на рисунке (3a), а его реактивное сопротивление в стационарных цепях находится по формуле: \[X_{Cs} = {1 \over \Bbb{i} \omega C_S} \qquad (2.1)\] где: \(\Bbb{i}\) — мнимая единица, означающая фазовый сдвиг на 90 градусов, \(\omega\) — угловая частота, которая связана с обычной так: \(\omega = 2\pi f\), а \(C_S\) — ёмкость этого конденсатора.
Из предыдущей части мы знаем, что ЭСК состоит из трёх ёмкостей, одной — обычной, и двух — уединённых. Для расчёта радиосхем необходимо, чтобы все ёмкости были двухобкладочными, поэтому наша модель будет состоять из конденсатора \(C_S\), ёмкость которого равна ёмкости между двумя его обкладками, и конденсаторов \(C_1 C_2\), которые в схеме также — двухобкладочные, но обладающие значением уединённой ёмкости первой и второй обкладки соответственно (рис. 3b). Также, здесь будет присутствовать источник зарядов, который на схеме обозначен, как источник напряжения \(U_g\), соединённый последовательно с \(C_2\). В этой модели мы совмещаем две независимые системы отсчёта и предполагаем, что для уединённых ёмкостей второй обкладкой является Земля, поэтому в схеме указано обязательное заземление. Оно будет подразумеваться и в идеализированных расчётах, хоть и не будет явно показываться.
Рис.3. Модели обычного и электростатического конденсатора для расчёта схем (a-c). Двухконтурная схема на ЭСК (d).
Вспоминая формулу (1.2), и вывод из предыдущего раздела о сдвиге фаз, мы можем ввести конкретное значение нового источника напряжения: \[U_g = \Bbb{i} U_1 \frac{C_1}{C_2} \qquad (2.2)\] Напомним, что \(\Bbb{i}\) — это мнимая единица, означающая положительный фазовый сдвиг на 90 градусов. Этим отличается расчёт схем переменного тока со стационарными параметрами с помощью комплексных чисел: для того, чтобы показать положительный сдвиг фазы, достаточно параметр (ток, напряжение или сопротивление) умножить на \(\Bbb{i}\), а чтобы показать отрицательный — на \(\Bbb{i}\) со знаком минус. Сдвиг — на 180 градусов отразить ещё проще: нужно перед параметром поставить знак минус [1,2].
Интересно, что этот дополнительный источник зарядов никогда не учитывается при расчёте схем в теоретической электротехнике, хотя известно, что именно электростатическая индукция зачастую может являться причиной выхода из строя некоторых элементов радиоаппаратуры. Далее, мы постараемся превратить этот недостаток в преимущество и использовать такой эффект по назначению.
Энергетическая проверка модели
Давайте проверим энергетические соотношения такого источника. Представим независимую от дальнейшего изложения картину, и рассмотрим конденсатор \(C_2\) и источник \(U\) отдельно от остальной схемы (рис. 3c). Пусть конденсатор разряжен, а источник изменил своё напряжение скачком: от нуля до \(U_g\). Тогда энергия его полного заряда конденсатора, будет находиться по известной формуле: \[W = \frac{C_2 |U_g|^2}{2}\] Энергия, выделяемая на активной нагрузке \(r\) будет точно такой же. Применительно к алгоритму, изображённому на рисунке (2) из предыдущего раздела, мы знаем, что \(|U_g| = |U_1| \frac{C_1}{C_2}\), а заряд на \(C_2\) такой же, как и на \(C_1\): \(q_1 = C_1 |U_1|\), откуда получаем окончательно формулу для энергии полного заряда этого конденсатора: \[W = \frac{C_1^2 |U_1|^2}{2 C_2} = \frac{q_1^2}{2 C_2}\] Если теперь источник \(U\) изменит своё напряжение в обратную сторону: от \(U_g\) до нуля, то на резисторе снова рассеится та же самая энергия. Энергетически, это полностью повторяет предложенный в предыдущем разделе алгоритм. В реальной схеме, предложенной ниже, роль нагрузки будут выполнять несколько элементов, в том числе и индуктивности, благодаря которымм мы сможем получить положительную обратную связь.
Отметим, что модель ЭСК (рис. 3b) можно применять для любых других схемотехнических вариантов, но пока мы остановимся на самом простом из всех возможных — двухконтурном.
Расчёт двухконтурной схемы с ЭСК
Забегая вперёд можно сказать, что без наличия индуктивностей получить необходимую нам положительную обратную связь в схемах с ЭСК невозможно, поэтому они включены в рассматриваемую далее схему (рис. 3d). На ней изображено два связанных контура, каждый из которых представляет собой активное сопротивление, индуктивность и ёмкость. Связь между контурами осуществляется через конденсатор \(C_S\). Токи от двух источников напряжения обозначаются так: от \(E\) -> \(I_1\) и \(I_2\), а от \(U_g\) -> \(Ig_1\) и \(Ig_2\). Таким образом, можно рассмотреть эти две цепи, как независимые, затем подсчитать их суммарные токи через \(r_1\) и \(r_2\), а уже через них — баланс мощностей. Не будем мучить наших читателй долгими выводами формул, и сразу представим результат. Желающие — всегда могут перепроверить их вывод, тем более, что в помощь им мы рекомендуем прекрасную работу о связанных контурах [3].
Сокращения в расчётах применяются следующие: \[k = \frac{C_2}{C_1}, \quad k_s = \frac{C_1}{C_S}, \quad k_r = \frac{r_2}{r_1} \quad \Delta = \omega C_1 r_1 \] \[X_{C1} = {1 \over \Bbb{i} \omega C_1} = {r_1 \over \Bbb{i} \Delta}, \quad X_{C2} = {1 \over \Bbb{i} \omega C_2} = {r_1 \over \Bbb{i} \Delta k}\] \[X_{L1} = {\Bbb{i} \omega L_1}, \quad X_{L2} = {\Bbb{i} \omega L_2}, \quad X_S = {1 \over \Bbb{i} \omega C_S} = {r_1 k_s \over \Bbb{i} \Delta}\] \[T_1 = r_1 + X_{L1}, \quad T_2 = r_1 k_r + X_{L2}\] Тогда, согласно [1] находим суммарные сопротивления для первой системы отсчёта, связанной с источником напряжения \(E\): \[Z_1 = T_1 + {r_1 \over \Bbb{i} \Delta} {1 + k k_s \over 1 + k + k k_s}\] \[Z_2 = T_2 + {r_1 \over \Bbb{i} \Delta} {1 + k_s \over 1 + k + k k_s}\] \[Z_C = {r_1 \over \Bbb{i} \Delta} {1 \over 1 + k + k k_s}\] \[A = Z_1 Z_2 - Z_C^2\] Откуда сразу же найдём токи: \[I_1 = E {Z_2 \over A}, \quad I_2 = E {Z_C \over A}\] То же самое проделаем и для второй системы отсчёта, связанной с источником \(U_g\): \[Z_{g1} = X_{C1} + {T_1 (X_S + T_2) \over T_1 + T_2 + X_S}\] \[Z_{g2} = X_{C2} + {T_2 (X_S + T_1) \over T_1 + T_2 + X_S}\] \[Z_{gC} = {T_1 T_2 \over T_1 + T_2 + X_S}\] \[A_g = Z_{g1} Z_{g2} - Z_{gC}^2\] Откуда найдём токи: \[I_{g1} = U_g {Z_{gC} \over A_g}, \quad I_{g2} = U_g {Z_{g1} \over A_g}\] Связывающее эти две системы отсчёта напряжение \(U_1\) (см. рис. 3d) находится так: \[U_1 = I_1 X_{C1} {k A_g (X_S + X_2) \over (X_S + X_2 + X_{C1}) (k A_g - \Bbb{i} Z_{gC} X_{C1}) } \qquad (2.3)\] Здесь и далее применяется ещё два сокращения: \[X_1 = {T_1 X_{C1} \over T_1 + X_{C1}}, \quad X_2 = {T_2 X_{C2} \over T_2 + X_{C2}} \] Тогда суммарный ток, протекающий через сопротивление \(r_2\), которое одновременно является и нашей нагрузкой, можно найти так: \[I_{22} = I_2 + I_{g2} {X_S + X_1 \over X_S + X_1 + T_2} \qquad (2.4)\] Ещё нам понадобтся суммарный ток, протекающий одновременно через \(r_1\) и источник питания \(E\): \[I_{11} = {E - U_1 \over T_1} \qquad (2.5)\] Напомним также, что исходя из (2.2): \[U_g = \frac{\Bbb{i}}{k} U_1 \qquad (2.6)\] Теперь мы подошли к самому главному — балансу мощностей. Он находится отношением выходной мощности ко входной \[K2 = {P_2 \over P_1} \qquad (2.7)\] а сами мощности, соответственно, так: \[P_1 = E |I_{11}|, \quad P_2 = |I_{22}|^2 r_1 k_r \qquad (2.8)\] Заметим, что токи здесь обязательно берутся по модулю.
В следующей части этой работы, на основе этих формул, мы приведём конкретизированный расчёт генератора ЭСК со сферическим конденсатором.
 
1 2 3
Используемые материалы
  1. Е.М. Завьялов, В.Е. Завьялов. Расчёты электрических цепей. 3.17. Символический или комплексный метод расчета цепей переменного тока.
  2. Электротехника. Глава 14. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
  3. Котельников В.А., Николаев А.М. Основы радиотехники. Глава 9. Связанные контуры.