Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-10-05
Все заметки / Единичное пространство
Некоторые свойства глобального вектора R
Сначала напомним некоторые выводы, которые мы уже получили в первой главе. Например, как мы вяснили из предыдущей работы, длина вектора \(\mathbf{R}\), полученного раскладкой Лоренц-фактора, всегда будет равна единице: \[\mathbf{R} \cdot \mathbf{R} = 1, \quad |\mathbf{R}| = 1 \qquad (1.1)\] А сам вектор, в общем плане, выглядит так: \[\mathbf{R} = \frac{1}{\gamma} \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\} \qquad (1.2)\] где: \(\beta = v/c\), а: \(\gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2}\). Если домножить этот вектор на скорость света и выбрать положительное направление (плюс перед коэффициентами), то мы получим некоторое отражение нашего мира в первых двух координатах: \[\mathbf{V} = c\mathbf{R} = \frac{1}{\gamma} (\mathbf{i} c + \mathbf{j} v + \ldots) \qquad (1.3)\] где: \(\mathbf{i}, \mathbf{j}\) — единичные векторы ортонормированного базиса, \(\mathbf{V}\) — вектор полной или глобальной скорости, \(v\) — привычная нам скорость в нашем мире. Отсюда мы автоматически получаем глобальный закон сохранения энергии: \[\mathbf{V} \cdot \mathbf{V} = c^2 \qquad (1.4)\]

Как мы видим, формула (1.1) отличается от (1.4) только наличием постоянного коэффициента \(c^2\). Таким образом, далее мы можем применять более удобную нормированную форму записи вектора по (1.2), подразумевая при этом, что для его пересчёта в реальную скорость, нормированный вектор \(\mathbf{R}\) нужно просто домножить на \(c\). Поэтому его, так же как и вектор \(\mathbf{V}\), будем называть общим (глобальным) вектором скорости.

Первое свойство
Если предположить, что наша скорость меняется во времени по определённому закону: \(v = v(t)\), то тогда производная вектора \(\mathbf{R}\) по \(t\) будет из себя представлять общий вектор ускорения.
Рис.1. Общий вектор скорости всегда перпендикулярен общему вектору ускорения.
Нам нужно доказать, что общий вектор ускорения \(\mathbf{R}'_t\) будет всегда перпендикулярен общему вектору скорости, т.е.: \[\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}'_t = 0 \qquad (1.5)\] Можно привести очень сложное доказательство, но мы нашли более простое решение. Докажем это свойство так: \[\mathbf{R} \cdot \mathbf{R} = 1\, \Rightarrow\, [\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}]'_t = 0\] \[\Downarrow\] \[[\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}]'_t = \mathbf{R} \cdot 2 \mathbf{R}'_t = 0\] Давайте проверим это свойство на простом примере. Допустим, что скорость меняется по линейному закону: \(v(t) = at\), где \(a\) — ускорение. Тогда: \(\beta(t) = at/c\). Направление перед всеми коэффициентами, для простоты, выберем везде положительное. Единичный вектор будет таким \[\mathbf{R}(t) = \sqrt{1 - \beta(t)^2} \left\{1,\, \beta(t),\, \beta(t)^2,\, \ldots,\, \beta(t)^n \right\} \qquad (1.6)\] а вектор его производной по времени такой: \[\mathbf{R}'_t = {- k^2 t \over \sqrt{1 - \beta(t)^2}} \left\{1,\, \beta(t),\, \beta(t)^2,\, \ldots,\, \beta(t)^n \right\} + \sqrt{1 - \beta(t)^2} \left\{0,\, k,\, 2k^2 t,\, \ldots,\, n k^n t^{n-1} \right\} \qquad (1.7)\] где мы ввели следующий коэффициент: \(k = a/c\). Для дальнейших вычислений учтём, что следующий ряд является сходящимся: \[1 + 2x + 3x^2 + \ldots + nx^{n-1} = {1 \over (1-x)^2} \qquad (1.8)\] Перемножаем два полученных вектора по правилам скалярного умножения, и упрощая выражение при помощи (1.8), получим: \[\mathbf{R}(t) \cdot \mathbf{R}'_t = {- k^2 t \over 1 - \beta(t)^2} + {k^2 t \over 1 - \beta(t)^2} = 0 \qquad (1.9)\]
Обратим ваше внимание, что полученое выше свойство работает не только в Лоренцевом пространстве (полученном из Лоренц-фактора), но и в любом другом.