Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-10-04
Все заметки / Единичное пространство
3. Превращаем единицу в вектор

«В действительности всё не так, как на самом деле.» С.Ежи Лец.

Теперь вернёмся немного назад и вспомним парадокс из первого параграфа этой работы. Давайте его разрешим. Для этого разложим скалярную функцию (1.3) \[f(x) = \sqrt{(4\sin(x))^2 + 1} \qquad (3.1)\] на вектор по теореме из предыдущего параграфа: \[\mathbf{f}(x) = \pm \mathbf{i}\cdot 4\sin(x) \pm \mathbf{j}\cdot 1 \qquad (3.2)\] где: \(\mathbf{i}, \mathbf{j}\) — единичные векторы ортонормированного базиса. Теперь нам достаточно выбрать знак перед коэффициентами и мы в точности получим формулу (1.1): \[\mathbf{f}(x) = \mathbf{i}\cdot 4\sin(x) + \mathbf{j}\cdot 1 \qquad (3.3)\] Выходит, что никакого парадокса нет и наши две точки могут одновременно находиться в разных пространствах, а мерность будет зависеть от свойств конкретного пространства и того, каким образом мы будем производить измерение! Об этих свойствах мы и поговорим дальше.
Лоренц-фактор
Наконец мы подобрались к теме, заявленной в самом начале: как преобразовать единицу в вектор. Сразу скажем, что для получения такого преобразования мы можем выбрать любую функцию, но лучше сразу взять такую, которая правильно описывает наше с вами пространство. Её вывел Г.А. Лоренц, а уже позже такую функцию назвали в его честь Лоренц-фактором [1]: \[\gamma = {1 \over \sqrt{1 - (v/c)^2}} \qquad (3.4)\] где: \(v\) — скорость точки, \(c\) — скорость света. Обзначим отношение скоростей так: \(v/c = \beta\) и представим Лоренц-фактор в виде вектора (пример 2): \[\mathbf{\Gamma}(x) = \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\} \qquad (3.5)\] А для того, чтобы квадрат этого вектора всегда равнялся единице, мы его домножим на \(1 / \gamma\). Окончательно, раскладка единицы в вектор по Лоренц-фактору будет выглядеть так: \[\mathbf{R} = \frac{1}{\gamma} \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\} \qquad (3.6)\] При этом: \[\mathbf{R} \cdot \mathbf{R} = 1, \quad |\mathbf{R}| = 1 \qquad (3.7)\] Т.е. длина вектора \(\mathbf{R}\) всегда будет равна единице. В дальнейшем мы его будем применять для представления единичного пространства через скорость. Ну и что? — спросите вы. Красивая формула, но как она связана с нашим миром?
Наш мир
Первое, что сразу бросается в глаза, — формула (3.7) выражает глобальный закон сохранения энергии в замкнутой системе: общая энергия в ней всегда будет одна и та же, независимо от происходящих в ней процессов. Второе свойство, на первый взгляд менее очевидно, но давайте его рассмотрим детальнее. Для этого предположим, что скорость \(v\) у нас намного меньше скорости света. Тогда из всего вектора (3.6) мы можем оставить только первые две значащих координаты \[\mathbf{R} \approx \left\{\pm 1,\, \pm \beta \right\}, \quad \beta \ll 1, \quad \gamma \approx 1 \qquad (3.8)\] и выбрать знак (направление) движения: \[\mathbf{R} \approx \left\{1,\, \beta \right\} \qquad (3.9)\] А теперь давайте домножим (3.9) на скорость света и распишем полученный вектор более наглядно: \[\mathbf{V} \approx \mathbf{i}\cdot c + \mathbf{j}\cdot v \qquad (3.10)\] Если предположить, что наша система \(\mathbf{R}\) по оси \(\mathbf{i}\) передвигается со скоростью света, то вектор (3.10) отражает полную скорость в такой замкнутой системе. Отсюда логично предположить, что ось \(\mathbf{i}\) представляет координату времени. Тогда ось \(\mathbf{j}\) — это наше пространство, в котором точка движется с привычной нам скоростью \(v\). Таким образом, точка движется и в пространстве и во времени, что полностью соответствует нашей реальности.
Пойдём дальше. Если скорость перемещения точки постоянна, то домножив (3.10) на время \(t\) мы должны получить значения некоторых протяжённостей: \[\mathbf{L} \approx \mathbf{i}\cdot ct + \mathbf{j}\cdot l \qquad (3.11)\] Здесь первое слагаемое — наше текущее время, правда выраженное в единицах длины, примерно, как это делается со световой секундой или световым годом. Второе слагаемое — наша привычная длина пути \(l\) (перемещение точки).
Если всё же нужно учитывать Лоренц-фактор, который мы приравняли к единице в формуле (3.8), то мы получаем классические сокращения времени и длины в зависимости от скорости [2]: \[\mathbf{L} \approx \mathbf{i}\cdot ct \sqrt{1-\beta^2} + \mathbf{j}\cdot l \sqrt{1-\beta^2} \qquad (3.12)\] Правда, в этом случае уже нужно учитывать и координаты более высокого порядка, которые ещё больше будут менять общую картину, но этим мы займёмся в одной из следующих глав. А пока хотим обратить ваше внимание на то, что отражение картины нашего мира, возможно, не нуждается в слишком сложных формулах и теориях, и всё намного проще :)
 
Используемые материалы
  1. Википедия. Лоренц фактор.
  2. Википедия. Лоренцово сокращение.