Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-08-01
Все заметки
Электрическая ёмкость связи. Методика расчёта
В этой работе мы познакомим вас с методикой расчёта электрической ёмкости для симметричных тел, найдём отличия классического расчёта и более реалистичного — для некоторых видов конденсаторов, дадим определение для ёмкости связи. Такие расчёты необходимы для решения более сложных задач с использованием электростатического конденсатора. В них принципиально важно разделять различные виды ёмкостей.
Здесь мы будем рассматривать ёмкость с нестандартных позиций, тем не менее, все расчёты останутся в рамках классики. С точки зрения классических представлений она находится, как отношение заряда и потенциала её проводника — для уединённой ёмкости, и отношение заряда и разности потенциалов — для двухобкладочной ёмкости [1]: \[C = {q \over \varphi} \qquad (1)\] Такое определение годится для энергетики происходящих в конденсаторе процессов: затраченной энергии на его заряд и полученной после — от его разряда. Здесь вопросов нет. Дальше мы покажем отличие в некоторых свойствах для определённых типов конденсаторов, а пока подойдём к ёмкости с другой позиции и будем рассматривать её, как отношение потока электрического поля [2], проходящего через проводник обкладки, делённого на её потенциал. Математически, этот поток необходимо ещё умножить на \(\varepsilon_0\) — абсолютную диэлектрическую постоянную [3]: \[C = {\varepsilon_0 \Phi \over \varphi} \qquad (2)\] Казалось бы, это то же самое, просто записано в другим виде, но далее мы покажем принципиальное отличие такой постановки вопроса. Сам же поток полностью называется так: поток вектора напряжённости электрического поля и находится по теореме Гаусса [2]: \[\Phi = \oint \limits _{S} {E\, S} \qquad (3)\] где: \(E\) — напряжённость электрического поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую протекает поток \(\Phi\) (рис. 1a). Для симметричных тел с таким же симметричным распределением электрического поля эта формула сильно упрощается и будет использоваться нами далее именно в таком виде: \[\Phi = E\, S \qquad (4)\] Здесь нужно заметить, что линии электрического поля в этом случае считаются перпендикулярными к поверхности пронизываемой ими площади. Мы также знаем, что этот поток, умноженный на диэлектрическую постоянную, даёт нам заряд, который этот поток образует проходя через поверхность: \[q_2 = \varepsilon_0 \Phi = \varepsilon_0 E\, S \qquad (5)\] Но мы также можем найти суммарный поток от начального источника заряда (рис. 1a): \[q_1 = \varepsilon_0 E\, S_g \qquad (6)\] Отсюда мы можем вывести сразу две формулы, которые нам понадобятся в дальнейшем.
1. Мы можем найти неизвестную пока напряжённость поля: \[E = {q_1 \over \varepsilon_0 S_g} \qquad (7)\] 2. Введём коэффициент распостранения заряда, который выводится на основании (5) и (6): \[k_q = {q_2 \over q_1} = {S \over S_g} \qquad (8)\] Он показывает, насколько уменьшается заряд \(q_2\), который мы измеряем на площадке \(S\), находящейся на расстоянии \(d\) от начального зяряда \(q_1\).
Потенциал на площадке \(S\) находится по классической формуле: \[\varphi = \int E\, \Bbb{d} x \qquad (9)\] где: \(x\) — ось отностительно центра симметричного тела. Мы специально пока не ставим пределы интегрирования, т.к. для уединённой ёмкости и двухобкладочной они будут разные. Их мы будем устанавливать в каждом случае отдельно. Подставляя сюда формулу (7) находим: \[\varphi = {q_1 \over \varepsilon_0} \int {\Bbb{d} x \over S_g} \qquad (10)\] Тогда искомая ёмкость будет находиться по следующей простой формуле: \[C = {\varepsilon_0 k_q \over \int {\Bbb{d} x \over S_g}} \qquad (11)\] При всех упрощениях, связанных с её применением, она хорошо отражает, как классические, так неклассические представления о ёмкости. Кроме того, в ней полностью отсутствуют поля и заряды, а остаётся только геометрия конденсатора. Конечно же, как и в классике здесь мы вводим допущение, что окружающие предметы достаточно удалены и никак не влияют на электрические поля конденсатора. Давайте для начала проверим эту формулу на классических примерах.
Рис.1. Схемы для нахождения ёмкости плоского сферического и коаксиального конденсаторов
Сразу же определимся, что в последующих трёх примерах коэффициент распостранения заряда будет равен единице, т.к. весь потоки через первую и вторую обкладки — одинаковые: \(k_q=1\).
Плоский конденсатор
Возьмём два проводящих круга с площадями \(S_1\) и \(S_2\), и расположим их соосно и перпендикулярно друг к другу на расстоянии \(d\) (рис. 1b). Ось \(\ell\), по которой мы будем проводить интегрирование по формуле (11), расположена в центре кругов и перпендикулярна к их плоскости. Подсчитаем ёмкость системы, в которой площади кругов одинаковые: \(S_1=S_2=S\). Поскольку в этом случае поток не претерпевает изменений вдоль оси, то \(S\) выносится за знак интеграла, а пределы интегрирования, очевидно, будут такие: (\(0, d\)): \[C = {\varepsilon_0 \over (d/S)} = {\varepsilon_0 S \over d} \qquad (12)\] Т.е. получаем классическую формулу плоского конденсатора [1].
Сферический конденсатор
Вычисление ёмкости такого конденсатора также не вызывает трудностей (рис. 1c). Достаточно вспомнить, что площадь сферы находится по формуле: \(S = 4\pi x^2\) и подствить её в (11): \[C = {\varepsilon_0 \over \int {\Bbb{d} x \over 4\pi x^2}} \qquad (13)\] Пределы интегрирования здесь будут находиться между двумя радиусами сфер: (\(r_1, r_2\)). Тогда ёмкость сферического конденсатора будет такой: \[C = {4\pi\varepsilon_0 \over 1/r_1 - 1/r_2} \qquad (14)\] что также полностью соответствует классике. К слову, число \(\pi\) в таких формулах показывает, что исследуемая обкладка не только симметрична, но ещё является и телом вращения.
Коаксиальный конденсатор
Для геометрического расчёта конденсатора по приводимой здесь методике, очень важно правильно выбрать ось симметрии \(x\), вдоль которой будет производиться интегрирование. В первых двух случаях она была очевидна, а в случае коаксиального конденсатора на ней нужно остановиться подробнее (рис. 1d). Эта ось должна быть направлена вдоль силовых линий электрического поля и в то же время — быть в их центре. Для цилиндров, из которых состоит коаксиальный конденсатор, такая ось может проходить через центр цилиндров и направлена — перпендикулярно их осей. Тогда площадь обкладки конденсатора (цилиндра) находится так: \(S = 2\pi x \ell\), где: \(\ell\) — длина цилиндра. Подставляем эту площадь в формулу (11): \[C = {\varepsilon_0 \over \int {\Bbb{d} x \over 2\pi x \ell}} \qquad (15)\] Пределы интегрирования здесь будут находиться между двумя радиусами этих цилиндров: (\(r_1, r_2\)). Окончательно находим искомую ёмкость \[C = {2\pi \varepsilon_0 \ell \over \ln (r_2 / r_1)} \qquad (16)\] которая также совпадает с классической [1].
Ёмкость связи
Если найти значение ёмкости между двумя проводящими обкладками, расположенными на некотором расстоянии, то обнаружится, что например, плоский, сферический и коаксиальный конденсаторы рассчитываются без учёта их уединённых ёмкостей, а две сферы — с учётом таковых. Так, ёмкость между двумя проводящими сферами (шарами) классическим образом рассчитывается так [1,4,5]: \[C = 2\pi \varepsilon_0 r \left(1 + \frac{1}{2D} + \frac{1}{4D^2} + ... \right) \qquad (17)\] где: \(D=d/(2r)\). Отсюда прямо следует, что при больших значениях \(d\) (рис. 2c) ёмкость перестаёт меняться, фиксируется на значении: \(C = 2\pi \varepsilon_0 r\), и более не зависит от расстояния между сферами. Это является совершенно правильным с точки зрения энергетических соотношений. Действительно, если зарядить сферы противоположными зарядами, то если между ними протянуть провод с включённым последовательно с ним активным сопротивлением, и разрядить таким образом сферы, то на этом сопротивлении выделится как раз энергия, которая тратилась и на их зарядку. Причём, расстояние между сферами не играет никакой роли. Всё верно.
Но смотрите, какая интересная картина получается в случае, если мы захотим на таких сферах устроить радио или энерго -связь (рис 2a). Раз с какого-то момента ёмкость перестаёт меняться от расстояния, то по известной схеме (рис. 2b) мы могли бы передавать информацию и энергию на неограниченные расстояния. Причём, даже между планетами и звёдами! Однако, как мы знаем из практики, с расстоянием мощность приёмного сигнала падает, что вполне логично, иначе с одного передатчика мы могли бы собирать бесконечное количество энегии :) Где здесь ошибка?
Рис.2. Связь между двумя сферами (a,b) и схема для расчёта ёмкости связи между двумя сферами (c,d)
Эта ошибка, а скорее — недопонимание, исчезнет, если выделить при расчёте конденсаторов отдельную категорию, в которой подсчёт параметров будет производиться без учёта их уединённой ёмкости. Ёмкость, рассчитанную таким способом, мы будем называть ёмкостью связи или конденсатором связи.
В подавляющем большинстве случаев конденсатор именно так и рассчитывается. Например, по описываемой здесь методике у конденсатора можно подсчитать исключительно его ёмкость связи. Также, классические ёмкости плоского, сферического и коаксиального конденсаторов — считаются без учёта уединённых ёмкостей их обкладок.
Ёмкость связи между двумя сферами
Давайте теперь рассчитаем ёмкость связи между двумя сферами с радиусом \(r\) и расстоянием между ними — \(d\). Ось интегрирования проведём между центрами сфер (рис. 2c). Из теории электростатики известно, что заряд на сфере можно мысленно поместить в её центр и далее, на этом основании, производить подсчёты. Так мы и сделаем с первой (левой на рисунке) сферой (рис. 2d). Из этой точки будут радиально исходить силовые электрические линии \(\bar E\), часть которых пройдёт и сквозь вторую сферу. Тогда пронизывающий её поток будет охватывать шаровой сектор (изображён зелёным цветом), площадь которого находится из формул тригонометрии: \[S = 2\pi \sqrt{d^2 - r^2} (d - \sqrt{d^2 - r^2}) \qquad (18)\] Напомним, что силовые электрические линии должны быть перпендикулярны пронизываемой ими площади. Также напомним, как находится площадь сферы, охватывающей весь поток: \[S_g = 4\pi d^2 \qquad (19)\] Тогда коэффициент распостранения заряда здесь будет таким: \[k_q = \frac12 \sqrt{1 - \delta^2} (1 - \sqrt{1 - \delta^2}),\, \delta = \frac{r}{d} \qquad (20)\] Заменяя \(d\) на \(x\) и подставляя площадь (19) в формулу (11) получаем искомую ёмкость: \[C = {\varepsilon_0 k_q \over \int {\Bbb{d} x \over 4\pi x^2}} \qquad (21)\] Границы интегрирование здесь такие: (\(r, d-r\)). Решая интеграл и подставляя эти границы, получаем ёмкость связи между двумя сферами: \[C = {4\pi r \varepsilon_0 {1 - \delta \over 1 - 2\delta} k_q }, \quad \delta \lt 1/2 \qquad (22)\] Если взять \(\delta = 1/2 \), т.е. когда сферы будут соприкасаться, то ёмкость будет стремиться к бесконечности, что равносильно замыканию между её выводами. Это согласуется с нашими начальными предположениями (рис. 2b). Если же расстояние между сферами большое, т.е. если \(d \gg r\), то эта формула упрощается, а ёмкость — находится так: \[C \approx {\pi r^3 \varepsilon_0 \over d^2} \qquad (23)\] Теперь всё стало на свои места: с увеличением расстояния, ёмкость связи уменьшается на всём интервале.
Используемые материалы
  1. Википедия. Электрическая ёмкость.
  2. Википедия. Теорема Гаусса.
  3. Википедия. Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума.
  4. Задачи электростатики. Урок 13.
  5. Rawlins, A.D. Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres // IMA Journal of Applied Mathematics. 1985. — Vol. 34, no. 1. — P. 119—120