Разрабатывая нашу модель электрона мы не можем обойти стороной её математическое описание. Поэтому эта часть работы будет посвящена исключительно математике, но она даст понимание некоторым необычным закономерностям, которые, вообще говоря, совершенно неочевидны. В результате, мы даже получим формулу, объясняющую не только эту модель, но и любую другую, более практическую. Например она сможет объяснить, откуда берутся лишние заряды на предметах, когда рядом с ними течёт переменный или быстроменяющийся ток.

Вначале определимся с терминами и некоторыми упрощениями в формулах. Многие из них даны в работе [1], к которой мы будем постоянно обращаться. Здесь и далее полагаем, что заряд электрона, конвекционный ток в электроне и его потенциал, зависят от времени: \[ q_e = q_e(t), \quad I_e = I_e(t), \quad \varphi_e = \varphi_e(t) \] Круговую частоту электрона определим через обычную старндартным способом \[ \omega = 2\pi \nu_{e} \] откуда сразу получим длину волны электрона: \[ \lambda_e = {c \over \nu_{e}} = 2\pi r_e \tag{2.1}\] Здесь \(c\) — скорость света, а \(r_e\) — классический радиус электрона. Отсюда следует, что \[ \omega = {c \over r_e} \tag{2.2}\] Это были начальные определения, необходимые для дальнейшего изложения. Более существенные величины и закономерности, связанные с ними, мы получим далее.

Мы исходим из того, что заряд первичен, а уже из него образуются все электродинамические и электростатические поля. Уравнение заряда является определяющим для всей дальнейшей математики в этой работе. Его запишем в виде волны^(*): \[ q_e = q_0 \exp(i \omega t) \tag{2.3}\] Ток, как известно, это изменение заряда во времени \[ I_e = {d q_e \over dt} = I_0 \exp(i \omega t + \pi/2), \quad I_0 = \omega q_0 \tag{2.4}\] Получаем первое важное соотношение: \[ I_0 = \omega q_0 \tag{2.5}\] Из (2.5), учитывая (2.2), получим ещё одно выражение, которое будет применяться в последующих выкладках: \[ I_0 = {q_0 c \over r_e} \tag{2.6}\] Физический и математический смысл (2.6) отличается от модели, в которой точечный заряд вращается вокруг неподвижной точки, и где это выражение было бы таким: \(I = q c/(2\pi r) \). Это соответствует конвекционному току в электроне, полученному в работе [1], равному: \(I_0 = 1.7\cdot 10^4\) (А).

Ёмкость электрона находится классическим способом [3] \[ C_e = 4\pi \varepsilon_0 r_e, \quad \varepsilon=1 \tag{2.7}\] и составляет \(3.14\cdot 10^{−25}\) (Ф). Проверяем это значение по [1].

Исходя из коэффициента пропорциональности между потенциалом и зарядом [3], который называется ёмкостью, и выражением (2.3), мы можем записать уравнение для потенциала электрона: \[ \varphi_e = {q_e \over C_e} = {q_0 \over C_e} \exp(i \omega t) \tag{2.8}\] Здесь так же выделим амплитудное значение потенциала электрона \[ \varphi_0 = {q_0 \over C_e} \tag{2.9}\] которое составит \(5.11\cdot 10^{5}\) (В). Также, проверим это в [1].

Поскольку мы рассматриваем электрон, как идеальный колебательный контур, то его индуктивность можно найти по классическмоу закону Фарадея, применительному к электрическим цепям: \[ \varphi_e = - L_e {d I_e \over d t} \tag{2.10}\] Откуда можно вывести само ёё значение: \[ L_e = - {\varphi_e \over {I_e}^{'}_t} \tag{2.11}\] Производная от тока находится из (2.4) \[ {I_e}^{'}_t = - I_0 \omega\, \exp(i \omega t) \tag{2.12}\] а потенциал берётся из (2.). Тогда индуктивность электрона находится так: \[ L_e = {q_0 \over C_e I_0 \omega} \tag{2.13}\] Если учитывать, что \(\varepsilon_0 = 1 / (\mu_0 c^2)\), и формулы (2.2-2.6), мы можем окончательно получить индуктивность электрона: \[ L_e = {\mu_0 r_e \over 4 \pi} \tag{2.14}\] что составляет \(2.82\cdot 10^{−22}\) (Гн). Эта формула, и получившееся значение, также соответствуют работе [1].

Идеальный колебательный контур и в этом случае сможет нам дать готовое соотношение. Для резонансного колебательного контура в радиотехнике применяется формула Томсона [4]: \[ \nu_e = {1 \over 2\pi \sqrt{L_e C_e}} \tag{2.15}\] Все данные в ней мы уже знаем, и сразу же получим результат. Частота электрона по Томсону равна \(1.69\cdot 10^{22}\) (Гц). Длину его волны считаем по классическому определению: \[ \lambda_e = {c \over \nu_e} \tag{2.16}\] Длина волны электрона равна \(1.77\cdot 10^{-14}\) (м), что соответствует [1]. Теперь мы можем проверить все наши предыдущие выкладки, если сравним длину волны и длину окружности электрона: \[ \lambda_e = 2\pi r_e \tag{2.17}\] Этот результат должен был получиться из начальной формулы (2.1). Всё совпало, значит мы на верном пути :)