Это совершенно другой вид резонанса. Он не похож на классический даже внешне, если смотреть на него через экран осциллографа (рис. 2). Его резонансная частота зависит не только от индуктивности и ёмкости, но и от активного сопротивления цепи, и скважности импульсов. При этом, как и при классическом резонансе, наблюдается уменьшение тока потребления в LCR-цепи (рис. 1). Математическая зависимость этих параметров между собой сильно отличается от классической формулы Томсона [1]. В этой заметке мы предложим его математическую модель и формулы для расчёта, а называть его будем далее резонансом второго рода.

При исследовании ферромагнетиков, некоторые условия для такого резонанса были найдены Дмитрием С., Д. Смит отразил их в своих номограммах, а мы постараемся вывести аналитическую модель и формулы для его расчёта.

Рис.1. Эквивалентная схема для расчёта резонанса второго рода

Рис.2. Осциллограмма напряжения на ключе SW1 (жёлтый луч) и тока в катушке L (зелёный луч) при резонансе второго рода

Для этого нам понадобится эквивалентая схема процесса, данные снятые с реальных катушек и некоторые предположения. На схеме (рис. 1) представлены: ключ SW1, который замыкается с резонансной частотой \(f_{r2}\), причём здесь и далее под \(f_{r2}\) будем подразумевать резонанс второго рода (РВР); активное сопротивление ключа — \(R_{SW1}\); колебательный контур состоящий из ёмкости \(C\), индуктивности \(L\) и её активного сопротивления \(R_{L}\); источника питания E1 и активного сопротивления соединительных проводов \(R_{W}.\) Считаем, что сам источник питания имеет очень маленькое внутреннее сопротивление. Если это не так, то его можно будет добавить в \(R_{W}.\)

Для дальнейших предположений нам будет необходимо общее активное сопротивление цепи, которое находится суммированием всех его составляющих: \[ R = R_{SW1} + R_{L} + R_{W} \qquad (1.1) \] Также предполагается, что активные сопротивления ключа, проводов и источника питания во много раз меньше \(R_{L}\).

Для нахождения резонансной частоты РВР были рассмотрены три вероятные математические модели: \[ f_{r2} = {k_1 \over 2\pi\sqrt{L C} + k_2 L/R + k_3 R C } \qquad (1.2) \] \[ f_{r2} = {k_1 \over \sqrt{(2\pi\sqrt{L C})^2 + k_2 (L/R)^2 + k_3 (R C)^2 }} \qquad (1.3) \] \[ f_{r2} = k_1 \sqrt{f_r \frac{R}{L}}, \quad f_r = {1 \over 2\pi\sqrt{L C}} \qquad (1.4) \] где: \(k_1, k_2, k_3\) — постоянные коэффициенты, а \(f_r\) — классическая резонансная частота по формуле Томсона. Эти варианты тестировались на катушках с различными параметрами, с разными материалами проводника и сердечника. Формулы (1.2) и (1.3) оказались очень неточными для больших относительных значений ёмкости и индуктивности, а (1.4) работала с точностью 20% по всему диапазону. Её и взяли за основу с коэффициентом \(k_1 = 1/2\). Интересно, что эта формула работает как для обычных катушек, так и для бифилярных намоток, почти не обладающих индуктивностью, как для катушек без сердечника, так и для ферромагнитных и диамагнитных сердечников. Итак, отразим эту формулу в окончательном виде: \[ f_{r2} = \frac12 \sqrt{f_r \frac{R}{L}}, \quad f_r = {1 \over 2\pi\sqrt{L C}} \qquad (1.5) \]

Очень интересная формула получается, если выводить резонанс второго рода через добротность. Она покажет природу этого резонанса. Для получения такой формулы нужно вспомнить, что такое добротность колебательной системы на её рабочей частоте [2]: \[ Q = \frac{\omega L}{R} \qquad (1.6) \] где: \(Q\) — добротность, \(\omega\) — круговая частота, которая находится так: \(\omega = 2 \pi f_r\). Подставив выражение (1.6) в (1.5), и произведя сокращения, получим эту формулу: \[ f_{r2} = f_r \sqrt{\pi \over 2 Q} \qquad (1.7) \] Отсюда сразу видно условие равенства классической резонансной частоты и резонансной частоты второго рода: \[ Q^{*} = \frac{\pi}{2} \qquad (1.8) \]

До сих пор мы исследовали резонанс при скважности управляющих ключём импульсов равной 2 и формула (1.5) выведена именно для этого случая. В отличие от классического резонанса в РВР обнаружилась сильная зависимость и от этого параметра. По предварительным данным, зависимость получается такая: \[ f_{r2} = \frac{S}{4} \sqrt{\frac{S}{2} f_r \frac{R}{L}}, \quad f_r = {1 \over 2\pi\sqrt{L C}} \qquad (1.9) \] где: \(S\) — скважность.

Осциллограммы для разных видов намотки приведены на рисунках 7 и 8 здесь. Из них становится понятно, что длина всего импульса должна быть больше первой (Томсоновкой) его части минимум в два раза. Математически это можно отразить так: \[ T_I \ge 2 T_T, \quad T_I = 1/f_{r2}, \quad T_T = 2\pi\sqrt{L C} \qquad (1.10) \] Тогда подставляя в это выражение известные значения из (1.5), и произведя с ними необходимые сокращения, мы получим следующее соотношение: \[ \sqrt{\frac{L}{C}} \ge \frac{\pi}{2} R \qquad (1.11) \] Но мы знаем из курса электродинамики, что левая часть неравенства — это волновое сопротивление контура, следовательно условие получения РВР сводится к довольно простой формуле: \[ Z \ge \frac{\pi}{2} R, \quad Z = \sqrt{\frac{L}{C}} \qquad (1.12) \] где: \(Z\) — волновое сопротивление LC-контура.

Выше мы рассмотрели условие при скважности 2. Более общая формула, с любой скважностью, выводится подстановкой в неравенство (1.10) формулы (1.9): \[ Z \ge S^3 \frac{\pi}{16} R \qquad (1.13) \]

Это необходимое, но недостаточное условие для существования резонанса второго рода. Автор надеется, что все условия найдутся со временем :)

Дон Смит предлагал использовать отношение \(L/R\) в своих магниторезонансных схемах, которое отвечает за магнитную фазу (или время реакции магнитной цепи). Обратное этому выражение можно выразить, как определённую магниторезонансную (смитовскую) частоту: \[ f_{Sm} = \frac{R}{L} \qquad (1.14) \] Тогда формулу для поиска резонанса второго рода (1.5) можно представить, как квадратный корень из произведения двух частот: классической резонансной и смитовской: \[ f_{r2} = \frac12 \sqrt{f_r\cdot f_{Sm}} \qquad (1.15) \] Таким образом, осуществляется синтез классики и относительно новых тенденций.

В данном исследовании применялась однополярная схема возбуждения колебательного контура. По всей видимости, для двухполярной схемы, резонансная частота второго рода должна удваиваться: \[ f_{r2} = \sqrt{f_r\cdot f_{Sm}} \qquad (1.16) \]

Резонанс второго рода отличается от классического по следующим признакам.

• Он образует в катушке неравномерное распределение магнитного поля на относительно низких частотах, на которых, в классическом представлении, индуктивность считается точечной и поле должно распределяться равномерно;
• Математическая модель такого резонанса сильно отличается от формулы Томсона, согласно которой резонансная частота обратно пропорциональна квадратному корню из ёмкости и индуктивности. В РВР эта частота обратно пропорциональна корню четвёртой степени из ёмкости и корню 3/4 степени из индуктивности;
• При классическом резонансе наблюдается сдвиг фаз между током и напряжением на 90 градусов. В РВР сдвига между током и напряжением нет;
• Есть принципиальные отличия при передаче мощности между двумя катушками при классическом резонансе и РВР. Полный отчёт находится здесь;
• В РВР резонансная частота зависит не только от индуктивности и ёмкости, но и от активного сопротивления цепи и скважности импульсов;
• РВР требует определённых условий для своего существования отражённых в формуле (1.13).