Уважаемые читатели! В этой работе мы открываем ещё один эффект для всеобщего изучения и применения. Пока он получен только теоретически, но, как известно, теория во многих случаях опережает практику и мы надеемся на последующую успешную практическую реализацию и внедрение этого необычного явления в область альтернативной энергетики.

Феномен скин-эффекта [1] изучен явно недостаточно и здесь у электродинамики, как оказалось, существует много пробелов. Классическое объяснение этого эффекта не выдерживает критики хотя-бы потому, что не совсем корректно объясняет его механизм, который хорошо освещается, например, в работе [2]. Но есть ещё один нюанс, о котором почему-то вообще нигде не говорится. Он заключается в том, что в проводнике напряженность электрического поля и плотность тока в плоскости, перпендикулярной его течению, распределена равномерно при постоянном токе и смещается к краю — при его изменении. Это хорошо видно из классического объяснения, которое следует из максвелловского уравнения: \[ {\Bbb{rot}\, \mathbf{E} = - \frac {\partial \mathbf{B} }{\partial t}} \qquad (1.1)\] Его смысл довольно простой: при изменении магнитной индукции (правая часть уравнения), вокруг её линий появляются замкнутые линии электрического поля (левая часть уравнения), причём магнитные и электрические силовые линии всегда будут взаимно перпендикулярны. Согласно классическому объяснению, часть созданных таким образом, электрических силовых линий направлена по движению тока, а часть — против, что перераспределяет картину движения зарядов и заставляет их двигаться по поверхность проводника. Но! Если через наш проводник течёт переменный синусоидальный ток, то в моменты перехода синуса через свой максимум и минимум (красные кружки на рис. 1), производная по времени будет равна нулю, а значит — и правая часть уравнения (1.1), что означает отсутствие скин-эффекта в эти моменты. И наоборот, когда синус проходит через ноль (чёрные кружки на рис. 1), то его производная максимальна, а значит в этот момент будут максимальны и электрические силы, которые образуют скин-эффект. Именно этот нюанс и обходит стороной теоретическая электродинамика. Давайте разбираться...

Если через наш проводник течёт постоянный ток, то плотность тока должна быть распределена по сечению проводника равномерно. Такое распределение представлено на рисунке (2), где изображено продольное сечение проводника, а фиолетовыми линиями условно изображены векторы плотности тока или напряжённости электрического поля в нём.

Здесь и далее на рисунках мы будем изображать только часть продольного сечения проводника, где координата \(y\) будет направлена снизу-вверх. Низ рисунка будет представлять поверхность проводника, а верх рисунка — его средину. На поверхности проводника плотность тока всегда максимальна и на графиках условно принята за единицу. Длина вектора будет обозначать величину плотности тока, а его направление и цвет — полярность.

Если по проводнику течёт переменный, например, синусоидальный ток, то векторы плотности тока должны неравномерно распределяться поверхности по мере увеличения производной \(\partial \mathbf{B} / \partial t\), т.е. быть наиболее неравномерно распределены в моменты перехода синуса через ноль, а в моменты максимума и минимума синусоиды — быть такими же, как и при постоянном токе. Такое ожидаемое нами динамическое распределение представлено на рисунке (3).

Рис.1. Синусоида и её производная в разные моменты времени

Рис.2. Равномерное распределение плотности тока в проводнике при постоянном токе

Рис.3. Предпологаемая картина динамического скин-эффекта при переменном токе

На последнем рисунке мы получили ожидаемую картину динамического скин-эффекта. Давайте уточним это предположение. Для этого мы проследим, как поступает классическая электродинамика, чтобы обойти вышеуказанный нюанс. Делается это так. Сначала уравнение (1.1) упрощается до случая с реальным проводником: \[ \frac{\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}} = \mu \gamma \frac{\partial E_{x}}{\partial t} \qquad (1.2)\] что является совершенно верным решением, а затем, вместо переменной \(E_{x}\), которая представляет собой распределение напряжённости электрического поля вдоль проводника (вдоль оси \(x\)), подставляется следующее выражение [1]: \[ E_{x}(y,t) = E_{0}(y)\, e^{i\omega t} \qquad (1.3)\] где \(E_{0}(y)\) — амплитудное значение напряжённости электрического поля, а \(\omega\) — угловая частота. Под координатой \(y\) здесь понимается то самое распределение плотности тока вдоль оси, перпендикулярной оси проводника (на рисунках направлена вертикально). Такая форма записи справедлива для электромагнитной волны, но если изменения напряжённости поля (а значит и тока, и магнитной индукции) в нашем проводнике относительно медленные, и изменяются по синусоидальному закону, то на самом деле она должна быть такой: \[ E_{x}(y,t) = E_{0}(y)\, \sin(\omega t) \qquad (1.4)\] И, если мы подставим в дальнейшие вычисления эту, правильную по мнению автора, форму, то и окончательная формула, и сам физический смысл скин-эффекта принципиально изменятся. Выражение (1.2) тогда станет таким: \[ \frac{\partial ^{2}E_{0}}{\partial y^{2}} = \mu \gamma \omega \cot(\omega t) E_{0} \qquad (1.5)\] где: \(\cot(\omega t) = \cos(\omega t) / \sin(\omega t)\). Уже в этой формуле можно увидеть зависимость распределения напряжённости поля от её фазы по времени, что отличает это решение от классического. Для получения окончательного результата нам нужно вспомнить, что плотность тока и напряжённость электрического поля связаны удельной проводимостью: \(j= \sigma E_0\). Решив последнее дифференциальное уравнение, и придав ему физический смысл, мы получим следующее распределение плотности тока от координаты \(y\) и от времени: \[j(y,t) = j_0 \sin(\omega t) \begin{cases} \exp ({- \sqrt{\cot(\omega t)}\, y/\Lambda}), & \mbox{if } \cot(\omega t) \ge 0 \\ \cos( \sqrt{- \cot(\omega t)}\, y/\Lambda ), & \mbox{if } \cot(\omega t) \lt 0 \end{cases} \qquad (1.6)\] или, что то же самое: \[ j(y,t) = j_0 \sin(\omega t)\, Re \exp \left( {- \sqrt{\cot(\omega t)}\, y/\Lambda} \right) \qquad (1.7)\] Как мы видим, это решение принципиально отличается от классического [1] тем, что толщина скин-слоя меняется во времени, а значит мы можем теперь говорить о динамическом скин-эффекте. В этой формуле: \(j_0\) — плотность тока на поверхности проводника (его максимальное значение), \(Re\) — действительная часть последующего выражения. А вот на следующем параметре нужно остановиться подробнее.

Здесь мы вводим новый термин, значение и применение которого ещё предстоит изучить. \[\Lambda = {1 \over \sqrt{\mu \gamma \omega}} \qquad (1.8)\] В этой формуле \(\Lambda\) — поперечная длина волны, в знаменателе которой, под квадратным корнем, находится произведение магнитной проницаемости, удельной проводимости и угловой частоты. Если умножить этот параметр на корень из двух, то численно он будет совпадать с толщиной скин-эффекта, но математический и физический смысл его принципиально другой. Поперечная длина волны определяет число волн, которые укладываются поперёк провода. Здесь можно провести аналогию с его продольным аналогом, но в отличие о последнего поперечная длина на порядки меньше, а частота колебаний меняется вдоль оси \(y\). Для сравнения: для медного провода и частоты 10 кГц продольная длина волны составит 30 километров, а поперечная — всего 0.47 миллиметров!

Но давайте обо всём по-порядку. На рисунке (3) мы предположили, как должна выглядеть картина скин-эффекта в динамике. Теперь давайте воспользуемся математическим редактором MathCAD [3], по формуле (1.6) или (1.7) построим динамический векторный график, и сравним предполагаемый и реальный рисунки. Если в подстановке мы будем предполагать, что диаметр нашего проводника \(d\) равен его поперечной длине волны, то получим рисунок (4). Если же вдоль диаметра проводника укладываются две поперечные длины волны, то получим более сложную картину на рисунке (5). Аналогично, если вдоль диаметра проводника укладываются три поперечные длины волны, то мы получим ещё более динамический рисунок (6). Не забываем только, что на рисунках мы изображаем только часть продольного сечения проводника: низ рисунка — его поверхность, верх рисунка — его средину.

Рис.4. Динамическое распределение плотности тока в проводе при d = Λ

Рис.5. Динамическое распределение плотности тока в проводе при d = 2Λ

Рис.6. Динамическое распределение плотности тока в проводе при d = 3Λ

На самом деле, при переменном токе, текущем через проводник, динамический скин-эффект будет порождать большое число частот и длин волн, но после некоторого значения они быстро затухают. Именно это значение и было взято за длину поперечной волны. Если мы посмотрим на динамические рисунки (5-6), то в какой-то момент мы сможем увидеть это значение. Для большей наглядности мы зафиксировали эти моменты на следующих двух статических изображениях (рис. 7-8).

Рис.7. Один момент в динамическом распределение плотности тока при d = 2Λ

Рис.8. Один момент в динамическом распределение плотности тока при d = 3Λ

Как мы видим, на рисунке (7), между поверхностью проводника и его центром уложена 1 волна, а значит по всему диаметру в этот момент укладываются две волны. Аналогично, на рисунке (8), между поверхностью проводника и его центром можно видеть 1.5 волны, а значит по всему диаметру в этот момент помещаются три волны.

Из этой работы видно, что некоторые свойства скин-эффекта соответствуют классической электродинамике. Например, это касается того факта, что при переменном токе, его большая часть бежит в приповерхностном слое проводника. Однако, часть явлений классикой не учитывается. Это относится к сложной структуры токов и их частот внутри провода. В следующей работе мы продолжим развивать эту необычную тему и покажем более сложные картины динамического распределение плотности тока в проводнике, а также, получим некоторые энергетические соотношения, которые бесплатно дарит нам этот замечательный эффект.