Эта работа является попыткой теоретического обоснования эффекта, который был получен в результате серии экспериментов с фазовым сдвигом тока в катушке индуктивности. Его смысл довольно простой. В цепи (рис. 1), состоящей из источника синусоидального напряжения U, параллельного колебательного контура LC и активного сопротивления R, в некоторый момент времени, допустим в каждом десятом колебании, происходит сдвиг фазы тока \(I_L\) в катушке L.

Рис.1. Схема для расчёта энергетики фазового сдвига

При этом остальная цепь, в этот момент, не успевает реагировать на быстрое изменение фазы, а переходной процесс длится минимум десять колебаний, после чего цепь восстанавливает свои первоначальные параметры. По сути, речь идёт об эффективном преобразовании реактивной энергии в активную.

Получить такой сдвиг можно параметрическим способом, что подробно описывается в методике этого эксперимента. Поскольку получение такого сдвига, вероятно, возможно и другими методами, то представляемая здесь математическая модель хоть и приближённая, но наиболее обобщённая.

Для идеального решения этой задачи потребовалось бы применение рекурсивных дифференциальных уравнений, что довольно сложно и просто невозможно без применения компьютерных вычислений, а наша задача — получить оценочные данные этого эффекта в аналитическом виде. Поэтому, мы применим не совсем обычную методику, основанную на предположении о том, что в сравнении со скоростью изменения фазы тока, скорость изменения амплитуды тока в катушке можно считать медленно меняющейся. Такой подход очень идеализирован и не учитывает некоторые параметры, зато он относительно простой и в нём можно применить классический «Метод комплексных амплитуд» [1-3].

Алогритм наших действий следующий. Сначала необходимо найти зависимость тока в нагрузке R от тока в индуктивности L: \[I = a\, U + b\, I_L \qquad (1)\] где: \(a, b\) — некоторые коэффициенты, которые в общем случае, могут быть комплексными; ток в индуктивности \(I_L\) имеет комплексное значение, которое и показывает сдвиг фазы относительно источника напряжения \(U\), задающего эти колебания: \[I_L = Re(I_L) + \mathbf{i}\, Im(I_L) \qquad (2)\] Здесь \(Re(I_L), Im(I_L)\) — соответственно действительное и мнимое значение тока, соотношение между которыми и даёт эту фазу. Но это постоянный фазовый сдвиг в установившемся процессе, а нам необходимо здесь учесть ещё и предполагаемый в эксперименте быстрый сдвиг фазы, на который цепь, по нашему предположению, реагировать не успевает. Учёт этого значения в радиоэлектронике делается просто: ток домножается на формулу Эйлера \(e^{\mathbf{i} \alpha}\) [4], где \(\alpha\) — угол быстрого фазового сдвига. Значение тока в индуктивности, учитывающее и установившееся, и переходное значение фазы, теперь будет таким: \[I_{\alpha} = a\, U + b\, I_L\, e^{\mathbf{i} \alpha} \qquad (3)\] Чтобы отличить установившийся ток от тока со смещением, последний — будем обозначать теперь так: \(I_{\alpha}\). Можно заметить, что если угол \(\alpha\) равен нулю, то формула (3) превращается в формулу (1). Следующим шагом нашего алгоритма будет подсчёт энергетических соотношений.

Чтобы подсчитать энергетические соотношения, выделяемые на наргузке R при быстром фазовом сдвиге, нам необходимо сравнить две мощности: мощность, затрачиваемую на питание всей цепи и мощность, получаемую в нагрузке. Находятся они так: \[P = |I|\, U, \quad P_{\alpha} = |I_{\alpha}|^2 R \qquad (4)\] Здесь токи взяты по модулю. Это важно. Тогда прирост КПД второго рода будет находиться из отношения этих мощностей: \[K_{\eta 2} = {P_{\alpha} \over P} = {|I_{\alpha}|^2 R \over |I|\, U} \qquad (5)\] В формуле (5) не учитываются затраты на устройство, создающее быстрый фазовый сдвиг и обычный КПД реальной установки. Это мы сделаем позже, при более точном рассчёте для реальных установок. Пока же нам важно получить некоторые качественные и количественные параметры для подтверждения эффекта.

Воспользуемся правилом Кирхгофа [5] для цепи (рис. 1) и методом комплексных амплитуд [1-3], и составим два уравнения: \[I\, R = U - I_L\, X_L \qquad (6)\] \[I = U {X_L + X_C \over R (X_L + X_C) + X_L X_C} \qquad (7)\] где: \(X_L = \mathbf{i} \omega L + r\) — комплексное сопротивление индуктивности катушки L и её активного сопротивления \(r\), а \(X_C = 1 / \mathbf{i} \omega C\) — реактивное сопротивление ёмкости C. В этих формулах \(\omega\) — угловая частота [6]. Из этих формул, путём некоторых преобразований, мы получим следующие значения токов: \[I = \frac{U}{R} {G \over G + H}, \quad G = \Delta + \mathbf{i} {1 - \Delta \over Q} \qquad (8)\] \[I_{\alpha} = \frac{U}{R} {G + H (1 - e^{\mathbf{i} \alpha}) \over G + H}, \quad H = q\, (1/Q + \mathbf{i}) \qquad (9)\] Здесь: \(Q = \omega L / r\) — добротность LC контура; \(q = \omega L / R\) — добротность системы; \(\Delta = 1 - \omega^2 LC\) — коэффициент отклонения от резонанса (при достижении резонанса этот параметр равен нулю). Теперь, полученные формулы подставим в (5) и выведем значение прироста КПД: \[K_{\eta 2} = {|G + H (1 - e^{\mathbf{i} \alpha})|^2 \over |G + H| |G| } \qquad (10)\] Как можно видеть из последней формулы, если \(\alpha = 0\), т.е. сдвига фазы нет, то и прирост КПД не может превышать единицу. Но давайте рассмотрим случаи, когда сдвиг фазы есть.

Первое, что можно сразу заметить — если значение угла сдвига фазы недостаточное, то нужный эффект не достигается. На следующем графике (рис. 2) представлены зависимости прироста КПД от фазового угла \(\alpha\) и коэффициента отклонения от резонанса \(\Delta\) (КОР). Здесь видно, что если \(\alpha = 0\) (красный график), то прирост КПД всегда меньше единицы. При увеличении угла сдвига, после некоторого его значения, прирост выходит за единичное значение, что может означать на практике появление нужного эффекта. В данном случае, это происходит при \(\alpha \gt 0.25\). Например, малиновая пунктирная кривая, при \(\alpha = 0.4\), достигает в максимуме значения 1.8.

Второе, из графика видно, что максимум прибавки находится не точно в резонансе, а чуть выше него. Можно проверить, что если угол сдвига отрицательный, то такой максимум будет располагаться ниже резонанса. Это наблюдалось и в эксперименте.

Рис.2. Зависимость прироста КПД от угла сдвига и КОР при Q = 10, q = 1

Этот график (рис. 2) построен при следующих значениях добротностей: \(Q = 10, q = 1\), но давайте изменим эти параметры на другие, например, увеличим добротность контура до 100. Как видим (рис. 3), прирост также увеличился, но минимальные значения фазового угла, при которых появляется эффект, всё равно остаются.

Рис.3. Зависимость прироста КПД от угла сдвига и КОР при Q = 100, q = 1

Давайте увеличим до десяти также и добротность системы \(q\), что значительно увеличит максимальные значения прироста КПД (рис. 4).

Рис.4. Зависимость прироста КПД от угла сдвига и КОР при Q = 100, q = 10

Но можно ли получить эффект при обоих добротностях равных единице? Согласно математике — можно, правда при этом придётся увеличить частоту генератора примерно в 1.3 раза относительно резонансной частоты LC-контура, а угол сдвига фазы сделать достаточно большим (рис. 5). К слову, угол в этой работе везде вычисляется в радианах.

Рис.5. Зависимость прироста КПД от угла сдвига и КОР при Q = 1, q = 1

Формула (10), по которой были построены все графики, довольно громоздка. Но если принять некоторые условия, то её можно здорово упростить. Если мы допустим, что система находится в резонансе, угол сдвига небольшой, а добротности наоборот — достаточно большие, то формула (10) упростится так: \[K_{\eta 2} \approx q\, Q\, \alpha^2, \quad \Delta = 0, \quad q\, Q\, \alpha \gg 1, \quad \alpha \lt 0.45 \qquad (11)\]

Пример по формуле (11)
Предположим, что частота генератора 16 кГц, индуктивность катушки L = 1 мГн, нагрузка R = 100 Ом, а угол сдвига \(\alpha = 0.12\). Тогда, из формулы (11) следует, что для прироста КПД более единицы требуется, чтобы произведение двух добротностей было такое: \(q Q \gt 70\). Импеданс катушки на частоте генератора: \(\omega L = 100\) Ом, следовательно добротность системы равна единице: \(q = 1\). Отсюда следует, что необходимо увеличивать добротность катушки \(Q\) минимум до 70, но учитывая потери на КПД всех преобразований и самого сдвига, этот параметр следует увеличить ещё в несколько раз. В реальности этого можно добиться применяя толстый медный провод, в идеале, выполненный из бескислородной меди.

Также, можно рассчитать и длительность сдвига. Учитывая, что угол считается в радианах, а полный период будет равный \(2 \pi\), то по длительности сдвиг будет длиться примерно 2% времени от полного колебания генератора, или по времени — примерно 1 мкс.

В этой работе было представлено возможное теоретическое обоснование экспериментально полученному эффекту сдвига фазы тока в катушке индуктивности. В формулах, выведенных здесь, не учитываются некоторые параметры, например, потери в диэлектрике конденсатора или в проводах. Также, не учитывается КПД элементов генератора и затраты на создание быстрого фазового сдвига. Тем не менее, в определённом приближении удалось выявить и сам эффект, и некоторые его закономерности в математической аналитической форме, что может являться платформой для дальнейшего развития этой несомненно интересной темы.

Из графиков, представленных в этой работе, хорошо видно отличие кривой классического резонанса и резонанса при сдвиге фазы тока: максимум смещается в зависимости от угла сдвига. Этот момент нужно будет учитывать при разрабоке устройств, работающих на этом принципе.

Есть некоторые особенности применения выведенных в этой работе формул. Так например, в самом начале мы предположили, что сдвиг тока будет осуществляться только лишь каждое десятое колебание. Отсюда следует, что средний прирост КПД необходимо делить на 10. Поскольку время реакции LC-контура определяется его добротностью, и добротность примерно равна этому числу колебаний, то в более общем случае, полученные результаты правильнее делить на параметр \(Q\). При этом, число колебаний, через которое осуществляется сдвиг фазы, также примерно равно \(Q\). Несмотря на этот нюанс, прирост КПД более единицы возможен; примеры — на рисунках (4) и (5).

Отсюда прямо следует, что для достижения максимального эффекта необходимо увеличивать не столько добротность LC-контура, сколько добротность системы \(q\). Также, в реальных устройствах необходимо достижение минимального угла сдвига фазы тока, при котором будет наблюдаться предлагаемый здесь эффект.