Из определения КПД второго рода следует, что для его увеличения необходимо беззатратно повышать напряжение при том же самом заряде. Из известных реактивных элементов такую возможность даёт индуктивность, но не напрямую, а при некоторых манипуляциях с этим параметром: её параметрического изменения. Если представить себе катушку, в которой в момент её накачки током, а значит и зарядом, индуктивность имеет одно значение, а при отключении накачки и появлении обратной ЭДС — другое и большее, то мы как раз и получаем более высокое напряжение при том же самом заряде. Еще больше повысить эффективность такого принципа можно, если менять сопротивление в LR-цепи одновременно с изменением индуктивности. Само по себе изменение этого параметра не приводит к повышению КПД.

В этой заметке мы поговорим о методе, в котором задействуется параметрическая индуктивность и активное сопротивление в последовательной LR-цепи, а параметром выступает время. Здесь мы остановимся лишь на одном варианте, который нам кажется наиболее простым с точки зрения математического аппарата и с позиции его реализации, но этот же принцип вполне можно распостранить и на другие решения. Сначала мы разберём его математику, покажем теоретическую возможность увеличения \(\eta_{2}\), а затем переложим всё это на схемотехнику реального устройства.

Из формулы (4.8) этой работы мы выяснили энергетические соотношения в параметрической цепи. В данном случае конкретизируем её до рисунка (1a): \[W_R + W_F = W_E \qquad (1.1)\] Здесь: \(W_R\) — энергия, рассеиваемая на активном сопротивлении \(R\), \(W_F\) — энергия, запасаемая или отдаваемая индуктивностью \(L\), а \(W_E\) — энергия от источника питания \(U\). Тогда формула, которая нам даст картину увеличения или уменьшения КПД будет, очевидно, такой: \[K_{\eta 2} = {W_R \over W_E} \qquad (1.2)\] В случае, когда индуктивность не меняется, и сначала запасает, а затем отдаёт энергию, КПД равно единице и \(K_{\eta 2} = 1\). Но нам интересен вариант, при котором \(K_{\eta 2} \gt 1\), который мы и будем обсуждать далее. Сначала мы вспомним, как считаются токи и энергии в RL-цепях с постоянными параметрами, а затем — начнём изменять их во времени.

Рис.1. Эквивалентные схемы для расчётов (a,b) и график тока в индуктивности (c)

Из теории переходных процессов [1] нам известно, что в последовательной цепи (рис. 1a), состоящей из источника напряжения \(U\), индуктивности \(L\) и активного сопротивления \(R\), после замыкания ключа SW1, ток будет находиться так: \[I(t) = {U \over R} (1 - e^{-t/\tau}), \quad \tau = {L \over R} \qquad (1.3)\] Тогда энергия, рассеиваемая на сопротивлении за время \(T\) будет находиться так \[W_R = R \int \limits_0^T I(t)^2 \Bbb{d}t \qquad (1.4)\] а энегрия, потреблённая от источника питания за то же время, — так: \[W_E = \int \limits_0^T U I(t) \Bbb{d}t \qquad (1.5)\] Но если мы подставим (1.4-1.5) в (1.2), и всё проинтегрируем, то получим \(K_{\eta 2} \le 1\). А ведь изначально мы планировали совсем другой результат.

Давайте попробуем менять индуктивность и сопротивление во времени, чтобы добиться нужного нам результата. Для этого рассчитаем схему, представленную на рисунке (1b), в которой два ключа, SW1 и SW2, работают поочерёдно: ключ SW1 подключает цепь \(L_1 R_1\) к источнику питания в интервал времени (\(0, T_1\)), затем размыкает свои контакты, а ключ SW2 — замыкает и этим замыкает вторую цепь \(L_2 R_2\) в интервале (\(T_1, T\)), где \(T\) — время периода, после которого всё повторяется. Две индуктивности связаны единым магнитным потоком, и поскольку они работают в разные периоды времени, то можно считать, что это одна и та же индуктивность, меняющая свой параметр во времени. Тогда мы должны рассмотреть энергетику двух процессов для двух интервалов времени (рис. 1c).

1 интервал: \(0 .. T_1\).
Ток для этого интервала находим из формулы (1.3), который сразу же подставляем в (1.4-1.5): \[W_{R1} = {U^2 \over R_1} \int \limits_0^{T_1} (1 - e^{-t/\tau 1})^2 \Bbb{d}t \qquad (1.6)\] \[W_{E1} = U \int \limits_0^T (1 - e^{-t/\tau 1}) \Bbb{d}t, \quad \tau_1 = {L_1 \over R_1} \qquad (1.7)\]

2 интервал: \(T_1 .. T\).
В начале второго интервала ток в цепи будет максимальный — \(I_1\), а поскольку источник питания здесь отключается, то спад этого тока будет находиться по другой формуле: \[I(t) = I_1 e^{-t/\tau2}, \quad \tau_2 = {L_2 \over R_2} \qquad (1.8)\] Сам же ток будет находиться из (1.3) с учётом данных первого интервала: \[I_1 = {U \over R_1} (1 - e^{-T_1/\tau1}) \qquad (1.9)\] Тогда энергетику цепи для второго интервала будем искать так: \[W_{R2} = R_2 I_1^2 \int \limits_{0}^{T-T_1} e^{-2t/\tau 2} \Bbb{d}t \qquad (1.10)\] \[W_{E2} = 0 \qquad (1.11)\] Здесь мы поступаем так, как-будто это независимый начальный интервал с начальным током \(I_1\), а потому пределы интегрирования берём такие: (\(0, T-T_1\)). Энергия от источника питания в этом интервале не потреблятся и потому приравнивается к нулю.

Мы подошли к самому интересному — общий КПД и возможности его увеличения. Из (1.2) следует, что увеличение/уменьшение КПД мы можем найти разделив энергию, рассеиваемую на сопротивлении на энергию, потребляемую от источника питания. В нашем случае нужно подсчитать всё это для двух интервалов \[K_{\eta 2} = {W_{R1} + W_{R2} \over W_{E1} + W_{E2}} \qquad (1.12)\] значения которых находятся соответственно из формул (1.6-1.7) и (1.10-1.11), после их интегрирования. Мы не будем мучать наших читателей выкладками и сразу приведём окончательный результат: \[K_{\eta 2} = {S_1 - 1.5 + 2 e^{-S_1} (1 - 0.25 e^{-S_1}) + 0.5 \delta \left(1 - e^{-S_1}\right)^2 (1 - e^{-2 S_2}) \over S_1 - 1 + e^{-S_1}} \qquad (1.13)\] где: \[S_1 = {T_1 \over \tau_1}, \quad S_2 = {T - T_1 \over \tau_2}, \quad \delta = {L_2 \over L_1} \] Само собой разумеется, что весь период должен быть больше его части, т.е.: \(T \gt T_1\). Можно показать, что если отношение индуктивностей будет равно единице (т.е. в обоих интервалах индуктивность одинакова), то прироста КПД не будет. Или — в более общем виде: \[K_{\eta 2} \le 1 \quad \Bbb{if} \quad \delta \le 1 \qquad (1.14)\] Зато если индуктивность на втором интервале будет больше индуктивности на первом, то, при условии соблюдения других параметров, прирост вплоне возможен.

Рис.2. График зависимости изменения КПД от параметров схемы при \(\delta = 1\)

Рис.3. График зависимости изменения КПД от параметров схемы при \(\delta = 1.5\)

Графики на рисунках (2,3) строились по формуле (1.13), где представлена следующая зависимость: \(K = K_{\eta 2}(S_1, S_2)\). На первом из них приводится КПД для схемы без изменения индуктивности, а на втором — пример возможного повышения КПД второго рода при отношении индуктивностей, равным полтора. Уже на данном этапе становится очевидно, что для повышения КПД просто необходимо изменение индуктивности в большую сторону при обрыве тока накачки, а также, как можно большее значение \(S_2\), что возможно, например, когда второй рабочий интервал намного больше первого (большая скважность импульса).

Конечно же, этот расчёт имеет только теоретическое значение, т.к. в нём не учитываются дополнительные реальные факторы: активное сопротивление проводов катушек, проходная и собственная ёмкость катушки, КПД генератора \(U\), переходные процессы переключения ключей. Об этом, и о более реалистичной схемотехнике, мы поговорим в следующей части этой работы.