На самом деле, всё самое главное — основной принцип — было сказано в предыдущей части, теперь осталось самое простое — всё это подсчитать. Но это тоже важная составляющая будущего устройства, т.к. математика — это наша связь с реальностью! Можно собрать множество схем, но не получить нужного эффекта просто потому, что ключевая деталь не была расчитана на необходимый временной параметр.

Все наши дальнейшие подсчёты будут основываться на некоторых допущениях, без которых уравнения станут запредельно громоздкими и не факт, что будут решаемы аналитически. Мы предполагаем, что конденсатор, через который течёт ток смещения, идеальный и не имеет потерь. Это же относится и к остальным элементам схемы, которая представлена на рисунке 2 в первой части этой работы. Катушка индуктивности, расположенная между пластин конденсатора, не имеет внутреннего сопротивления и не препятствует току смещения, что, если разобраться более детально, не так уж и далеко от реальности.

Наша задача будет состоять из расчёта двух связных между собой событий. Сначала замыкается ключ SW1 и на пластинах конденсатора C1 начинает нарастать потенциал, который образует ток смещения, а он, в свою очередь, порождает магнитное поле \(B\). Его то нам и предстоит найти на первом шаге, при помощи закона Ампера-Максвелла и уравнения (1.3).

На втором шаге находится энергия магнитного импульса и, полагая, что она утилизируется при помощи катушки L1 и полностью уходит в активную нагрузку R1, сравнивается с затраченной. Таким образом, мы вычисляем энергию и мощность в нагрузке, и находим КПД всей схемы. Это и будут анонсированные в начале этой работы инженерные формулы.

Сначала разберём правую часть уравнения (1.3), которая отвечает за преобразование электрического поля в магнитное. Поскольку мы полагаем, что поток электрической индукции равномерно распределён по поверхности \(S\), и учитывая, что \(D = \sigma S\), где \(\sigma\) — это плотность заряда, находим этот интеграл: \[ \int \limits _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\, \mathbf {dS} = \frac{d (\sigma S)}{d t} = \frac{d q}{d t} = C \frac{d U}{d t} \qquad (2.1)\] В нём: \(q\) — заряд на конденсаторе C1, \(C\) — его ёмкость, \(U\) — напряжение на этом конденсаторе, изменяющееся по закону \(U = U(t)\). Как видим, несмотря на первоначальную сложность интеграла, при определённых допущениях, он превратился в достаточно простую формулу с известными нам параметрами.

Левая часть уравнения (1.3), по сути, воспринимает полученное магнитное поле и представляет собой его напряжённость вдоль замкнутого контура \(\ell\). Если посмотреть на линии этого поля (рис. 1), то становится очевидным, что их длина попросту равна длине окружности: \(\ell=2\pi r\). Тогда этот интеграл также превращается в понятную и вычисляемую формулу: \[ \oint \limits _{\ell}\mathbf {H}\, \mathbf {dl} = H\,2\pi r \qquad (2.2)\]

Но нас будет интересовать средний радиус \(r_m\), где и будет проходить средняя длина магнитной линии катушки съёма, который находится просто: \(r_0=2 r_m\), где \(r_0\) — радиус пластины конденсатора. Приравняем (2.1) и (2.2) \[ H = \frac{C}{\pi r_0} \frac{d U}{d t} \qquad (2.3)\] и, вспоминая формулу для плоского круглого конденсатора, \[ C = \varepsilon\varepsilon_0 {\pi r_0^2 \over d} \qquad (2.4)\] подставляем её в (2.3) \[ H = \varepsilon\varepsilon_0 {r_0 \over d} \frac{d U}{d t} \qquad (2.5)\] где: \(d\) — расстояние между пластинами конденсатора. Мы получили формулу, по которой можно подсчитать напряжённость магнитного поля, полученное из электрического методом преобразования. Из неё хорошо прослеживается закономерность: чем выше амплитуда и скорость нарастания электрического поля, тем сильнее будет магнитный импульс. Может ощущаться физическая вибрация катушки L1 (и реакторов, описанных в следующих разделах) при достаточно высоких указанных параметрах.

Сама по себе напряженность поля ничего нам не говорит о его энергетике или мощности. Но если взять взять ещё одну Максвелловскую формулу для энергии магнитного поля [1], то ситуация сразу проясняется: \[ W_2 = {\mu\mu_0\,H^2 \over 2} V \qquad (2.6)\] Здесь \(W_2\) — энергия магнитного поля, а \(V\) — объём, в котором оно заключено, и который находится по классической формуле: \(V = \pi r_0^2\,d\).

Мы предполагаем, что полностью утилизируем всю эту энергию с помощью торроидальной катушки L1 и нагрузки R1 (рис. 2), поэтому можем подставить в формулу (2.6) напряжённость поля из (2.5): \[ W_2 = {\mu\mu_0\,(\varepsilon\varepsilon_0)^2 \over 2} {\pi r_0^3 \over d} \left(\frac{d U}{d t}\right)^2 \qquad (2.7)\] Таким образом, мы нашли энергию, которую можем получить методом преобразования от одного фронта импульса, формируемого ключём SW1 и конденсатором C1 (рис. 2).

Энергию, затрачиваемую на заряд C1, будем считать по простой классической формуле, которая не зависит от способа заряда: \[ W_1 = C\,U_0^2 \qquad (2.8)\] \(U_0\) — значение напряжения на конденсаторе C1 на момент разрыва ключа SW1. При этом мы не должны забывать, что на заряд тратится в два раза больше энергии, чем потом будет запасено в конденсаторе, поэтому множитель 1/2 здесь отсутствует.

Осталось сравнить эти энергии и получить значение прироста КПД: \[ K_{\eta2}= {W_2 \over W_1} \qquad (2.9)\] Но чтобы получить окончательную формулу, сделаем ещё одну раскладку. Вполне естественно, что нарастание потенциала на обкладках конденсатора будет происходить от нуля — до какого-то максимального значения. Отразим это так: \[\frac{d U}{d t} = U_0 \frac{d F}{d t} \qquad (2.10)\] где: \(U_0\) — значение напряжения на конденсаторе C1 на момент разрыва ключа SW1, \(F\) — функция нарастания этого напряжения после замыкания ключа, которая в общем случае зависит от времени: \(F=F(t)\).

Тогда, подставляя формулу (2.10) в (2.9), а вместо \(C\) его значение из (2.4) получим окончательный результат: \[ K_{\eta2}= \mu\mu_0\,\varepsilon\varepsilon_0 {r_0 d \over 2} \left(\frac{d F}{d t}\right)^2 \qquad (2.11)\] А теперь, мы хотим ещё раз обратить ваше внимание на «скоростные характеристики» нарастания электрического поля в сравнении со скоростью света. Для этого вспомним, что \(\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2\), где \(c\) — скорость света. И если для простоты предположим, что мы проводим опыт в вакууме и без ферромагнитных сердечников, а потому относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости равны единице, то придём к очень простой формуле \[ K_{\eta2}= {r_0 d \over 2} \left(\frac{1}{c} \frac{d F}{d t}\right)^2 \qquad (2.12)\] которая нам говорит о том, что для \(K_{\eta2} \gt 1\) скорость нарастания напряжения на конденсаторе, в купе с \(\sqrt{r_0 d}\), должна быть сопоставима со скоростью света.

Ещё раз напомним о том, что между пластин конденсатора C1 находится торроидальная катушка L1, средний радиус которой, для простоты расчётов, принимаем равным половине радиуса пластины конденсатора. Её задача — утилизизация магнитного импульса в нагрузку R1 (рис. 2). Если предположить, что нарастание напряжение на C1 происходит по линейному закону (рис. 3a) \[U = U_0 \frac{t}{T_0}, \quad t \in [0, T_0] \qquad (2.13)\] где \(T_0\) — время размыкания ключа SW1, то скорость нарастания будет такой \[\frac{d F}{d t} = {1 \over T_0} \qquad (2.14)\] а прирост КПД будет находиться так: \[ K_{\eta2} = {r_0 d \over 2} \left(\frac{1}{c\,T_0}\right)^2 \qquad (2.15)\] В этом примере мы также полагаем, что \(\mu = \varepsilon = 1\). Тогда для того, чтобы КПД схемы был более единицы, необходимо выполнить следующее соотношение: \[ T_0 \lt \frac{1}{c} \sqrt{{r_0 d \over 2}} \qquad (2.16)\] Например, если взять радиус пластин конденсатора и расстояние между ними — 30см, то фронт импульса должен быть менее 0.7нс.

Если взять экспоненциальную, более реальную зависимость нарастания напряжения на C1 (рис. 3b), \[U = 1.59\,U_0 \left(1 - e^{-t/T_0} \right), \quad t \in [0, T_0] \qquad (2.17)\] то, взяв первую производную, можно найти скорость этого нарастания: \[\frac{d F}{d t} = 1.59 {e^{-t/T_0} \over T_0} \qquad (2.18)\] В момент \(t = T_0\) эта скорость будет примерно равна \[\frac{d F}{d t} = {0.59 \over T_0} \qquad (2.19)\] а прирост КПД будет такой: \[ K_{\eta2} = 0.35 {r_0 d \over 2} \left(\frac{1}{c\,T_0}\right)^2 \qquad (2.20)\] Если теперь применить алгоритм и данные по формуле (2.16), то условие сверхединичного \(K_{\eta2}\) будет выполняться, если время фронта испульса будет менее 0.4нс. Этот результат будет более соответствовать реальности.

Исходя из этих примеров можно представить, какая кривая нарастания напряжения на конденсаторе будет более идеальная. На рисунке 3c такой график изображён. В реальной конструкции этого можно добиться, включив в цепь зарядки небольшую индуктивность с малой проходной ёмкостью, однако нельзя при этом забывать, что она увеличит время \(T_0\).

Несмотря на то, что в этой части работы хорошо виден подход к методике расчёта импульсных схем, основанных на токах смещения и преобразовании полей, конструкция самого устройства далеко не совершенна. В следующей части мы предложим более реалистичную схемотехнику и немного изменим её расчёт.