Эта заметка посвящена свойствам квадратичного счисления, которые необходимы для выполнения совместных скалярных и векторных операций, описывающих единичное пространство. Эти операции основаны на преобразовании скалярной функции в векторную, которое осуществляется в соответствии с этой теоремой. Согласно теореме, преобразование можно выполнить по следующему правилу: \[ f(x) \to \mathbf{f}(x) \tag{1}\] \[ \mathbf{f}(x) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n}\, a_n \sqrt{x^n \over n!} \tag{2}\] где: \(n\) — целые числа, начиная с нуля. В соответствии с общепринятыми нормами, мы считаем, что: \(0!=1\), и что: \(0^0=1\).

Вектора обозначаются жирным шрифтом. Таким образом: \(\mathbf{j_n}\) — единичный вектор координаты под номером \(n\), направление которого может иметь равновероятно как положительное, так и отрицательное значение. То есть, мы подразумеваем что: \[ \mathbf{j_n} \equiv \pm \mathbf{j_n} \] Для лучшего восприятия формул введём некоторые условные обозначения: \[ \mathbf{f}(x) = \mathbf{j} \left< a_n \downharpoonleft_n\right>_0^{\infty} \tag{3}\] Здесь символ \(\downharpoonleft_n\) означает радикал: \[ \downharpoonleft_n = \sqrt{x^n \over n!} \] Сравние теперь насколько упростилась запись в (3) по сравнению с формулой (2).

Но поскольку, во всех подобных выражениях в этой работе этот радикал будет задействован, то его также будем далее опускать. Что касается диапазона \(n\), то если он специально не указан, то подразумевается весь диапазон — от нуля до бесконечности: \[ \mathbf{j}\!\left< a_n \right> \equiv \mathbf{j} \left< a_n \right>_0^{\infty} \] который, при необходимости, раскладывается на несколько диапазонов: \[ \mathbf{j} \left< a_n \right>_0^{\infty} = \mathbf{j} \left< a_n \right>_0^7 + \mathbf{j} \left< a_n \right>_8^{\infty} \] Также, можно указать конкретное значение номера единичного вектора: \[ \mathbf{j} \left< a_n \right>_0^{\infty} = \mathbf{j_0}\!\left< a_0 \right> + \mathbf{j} \left< a_n \right>_1^{\infty} \] Таким образом, формулу (2), преобразующую скалярную функцию в векторную, теперь можно записать так: \[ f(x) \to \mathbf{j}\!\left< a_n \right> \tag{4}\] Упростив последующую форму записи, мы можем перейти к более конкретным формулам сложения и вычитания функций.

Сначала определимся со свойствами векторных функций, которые получаются путём преобразования из скалярных. Очевидно, что: \[ \mathbf{j}\!\left< a_n \right> + \mathbf{j}\!\left< b_n \right> = \mathbf{j}\!\left< a_n + b_n \right> \tag{5}\] Умножение двух векторных функций приводит снова к скалярной функции: \[ \mathbf{j}\!\left< a_n \right> \cdot \mathbf{j}\!\left< b_n \right> = \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot b_n \tag{6}\] Напомним также, что умножение векторной функции саму на себя, в результате даёт квадрат начальной скалярной функции: \[ \mathbf{j}\!\left< a_n \right> \cdot \mathbf{j}\!\left< a_n \right> = f(x)^2 \tag{7}\] Далее, перейдём к совместной работе скалярных и векторных функций.

Такое умножение ничем не отличается от классического: \[ k\cdot f(x) \to \mathbf{j}\!\left< k\cdot a_n \right> \tag{8}\] где \(k\) — постоянная величина (константа).

Имеются две скалярные функции, каждую из которых можно преобразовать в векторную: \[ A(x) \to \mathbf{j}\!\left< a_n \right> \\ B(x) \to \mathbf{j}\!\left< b_n \right> \tag{9}\] Тогда с ними можно производить математические операции суммирования, причём в общем случае сумма этих функций в скалярном пространстве не будет равна сумме их векторных величин.

Квадратичное сложение: \[ \sqrt{A(x)^2 + B(x)^2} \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \,\right> \tag{10}\]

Линейное сложение: \[ A(x) + B(x) \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{a_n^2 + b_n^2 + p_n^2} \,\right> \tag{11}\] где \[ P(x) = \sqrt{2 A(x) B(x)}, \quad P(x) \to \mathbf{j}\!\left< p_n \right> \] Формула (11) выводится из следующих преобразований, основанный на выражении для квадратичного сложения (10): \[ A(x) + B(x) = \sqrt{A(x)^2 + B(x)^2 + 2 A(x) B(x)} \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{a_n^2 + b_n^2 + p_n^2} \,\right> \tag{12}\] Соответственно, разность двух скалярных функций будет находиться так: \[ A(x) - B(x) \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{a_n^2 + b_n^2 - p_n^2} \,\right> \tag{13}\]

Сложение функции с константой \(k\) немного упрощает процесс преобразования: \[ A(x) + k \to \mathbf{j_0} \big[ A(0) + k \big] + \mathbf{j} \left< \sqrt{a_n^2 + 2k\, p_n^2} \,\right>_1^{\infty} \tag{14}\] Здесь: \(P(x) = \sqrt{A(x)}\), которая преобразуется по обычному правилу: \(P(x) \to \mathbf{j}\!\left< p_n \right>\).

Примеры некоторых подобных преобразований вы можете найти здесь.