Эта заметка посвящена преобразованию скалярных периодических и гиперболических функций в векторные согласно этой теоремы. Для лучшего восприятия формул вводятся некоторые упрощения, определённые в этой работе. Полноразмерные формулы, без упрощений их записи, приводятся здесь.

Приведём преобразования некоторых периодических функций: \[ \cos(x/2) \to \mathbf{j_0} + \mathbf{j} \left\langle \sqrt{ \frac12 \cos \left( {n\pi \over 2} \right)} \downharpoonleft_n \right\rangle_1^{\infty} \tag{1}\] \[ \sin(x/2) \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{ \frac{-\!1}{2} \cos \left( {n\pi \over 2} \right)} \downharpoonleft_n\right> \tag{2}\] \[ \cos(x) + \sin(x) \to \mathbf{j_0} + \mathbf{j} \left< \sqrt{ 2^n \sin \left( {n\pi \over 2} \right) } \downharpoonleft_n\right>_1^{\infty} \tag{3}\] \[ \sqrt{\cos(x)} \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{ \cos \left( {n\pi \over 2} \right) } \downharpoonleft_n\right> \tag{4}\] \[ \sqrt{\sin(x)} \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{ \sin \left( {n\pi \over 2} \right) } \downharpoonleft_n\right> \tag{5}\] \[ \sqrt{\cos(x) + \sin(x)} \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{ \cos \left( {n\pi \over 2} \right) + \sin \left( {n\pi \over 2} \right) } \downharpoonleft_n\right> \tag{6}\] \[ \sqrt{\cos(x) \sin(x)} \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{ 2^{n-1} \sin \left( {n\pi \over 2} \right) } \downharpoonleft_n\right> \tag{7}\] Приведём преобразования некоторых гиперболических функций [1]: \[ \sqrt{\cos(ix)} \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{ {1 + (-1)^n \over 2}} \downharpoonleft_n \right> \tag{8}\] \[ \sqrt{\sin(ix)} \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{ i {1 - (-1)^n \over 2}} \downharpoonleft_n\right> \tag{9}\] \[ e^{x/2} = \sqrt{\cos(ix) - i\sin(ix)} = \sqrt{\operatorname{ch}(x) + \operatorname{sh}(x)} \to \mathbf{j} \left< \downharpoonleft_n\right> \tag{10}\] \[ \sqrt{i\cos(ix) + \sin(ix)} \to \mathbf{j} \left< \sqrt{i} \downharpoonleft_n\right> \tag{11}\] \[ \sqrt{\cos(ix) + i\sin(ix)} \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{ (-1)^n } \downharpoonleft_n\right> \tag{12}\] \[ \sqrt{\cos(ix) + \sin(ix)} \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt[4]{ (-1)^n } \downharpoonleft_n\right> \tag{13}\] \[ \exp \left( i \frac{x}{2} \right) \to \mathbf{j}\!\left< \sqrt{ (i)^n } \downharpoonleft_n\right> \tag{14}\]